Aufgabe:
Seien \( X_{1}, X_{2}, \ldots \) paarweise unkorrelierte reelle Zufallsvariablen auf einem W-Raum \( (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \), die entweder alle diskret sind oder alle eine R-Dichte besitzen. Zudem sei \( \mathbb{E}\left[X_{1}\right]=\mathbb{E}\left[X_{2}\right]=\ldots \) und \( \sup _{j \in \mathbb{N}} \mathbb{V a r}\left[X_{j}\right]<\infty . \) Zeigen Sie, dass für alle \( \alpha<1 / 2 \)
\( n^{\alpha}\left(\bar{X}_{n}-\mathbb{E}\left[X_{1}\right]\right) \stackrel{\mathrm{P}}{\rightarrow} 0 \quad \text { für } n \rightarrow \infty . \)
