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Aufgabe:

Das BDF2-Verfahren
\( \frac{3}{2} y_{j+2}-2 y_{j+1}+\frac{1}{2} y_{j}=h f\left(x_{j+2}, y_{j+2}\right) \)
ist A-stabil. Zeigen Sie, dass dieses Verfahren auch die zusätzliche Bedingung für die L-Stabilität erfüllt.



Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen das zu zeigen?

Danke im Voraus! :)

Avatar von

Könnte jemand mir helfen?..

bitte unbedingt..

Oh das ist ein Mehrschrittverfahren... Dann muss man anders vorgehen, als von mir vorgeschlagen.

Danke für deine Antwort :)

wie denn?

Ich kenne den Begriff der L-Stabilität nur für Runge-Kutta Verfahren. Kannst du mal eure Definition davon angeben?

Das ist die Definition:Unbenannt.PNG

Hast du eine Idee?

Kennst du das q_z ?

Ja und habe das bestimmt aber ich komme nicht weiter..

5872d307-3b21-49d7-bb2d-9f0d74981f2f.jpg

wie ich verstanden habe ich muss die Nullstellen berechnen oder? aber ich weiß nicht wie, da es z gibt

Mir fehlt jetzt leider auch noch die Definition für das \( q_z \) um das überprüfen zu können. Aber was du jetzt prinzipiell machen musst ist die NST dieses Polynoms zu bestimmen. Mit der Mitternachtsformel bekommst du sofern deins richtig ist für \( z \neq 3/2 \) (und diese Einschränkung ist nicht schlimm da wir später nur sehr große [vom Betrag her] z betrachten)

$$ \xi_{1,2}(z) = \frac{2 \pm \sqrt{2z+1}}{3-2z} $$

Das \( \xi \) ist deine Variable. Du setzt in

$$ \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

einfach die Koeffizienten

$$ a = (3/2 - z),\quad b=-2, \quad c=1/2$$

ein

Es ist für beide Nullstellen

$$ \lim_{z \to \infty} |\xi_{1,2}(z)| = 0 $$

Du hast im Nenner eine lineare Abhängigkeit von z, im Zähler aber nur eine Abhängigkeit von \( \sqrt z \).

Damit geht aber auch der Limes des Maximum gegen 0.

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