dominierte Konvergenz zeigen

Question

Zeige anhand eines Beispiels, dass man in dem Satz über die dominierte Konvergenz auf die dominierende
Funktion nicht verzichten kann.

Answer 1

Hallo,

nimm \(L_1(\mathbb{R})\) und

$$x_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x_n(t):=0 \text{  außer }x_n(t):=1 \text{ für }t \in [n,n+1]$$

Dann geht \((x_n)\) punktweise gegen die Nullfunktion, die Integrale aber gegen 1.

Gruß Mathhilf