Berechnen Sie den Wert des Volumenintegrals

Question

Aufgabe:

Volumenintegral

Problem/Ansatz:

Berechnen Sie den Wert des Integrals

\( \int\limits_{V}^{} \)  zdxdydz

wobei V = {(x,y,z) ∈ ℝ^3 | x^2+y^2+z^2 < 1; x^2+y^2+z^2 < 2z }

Anscheinend handelt es sich hierbei um ein Volumenintegral. Ich habe allerdings hier Schwierigkeiten die Integralgrenzen zu bestimmen. Außerdem würde ich gerne direkt in Polarkoordinaten rechnen, jedoch weiß ich nicht ob ich Zylinder oder Kugelkoordinaten nehmen soll und wie ich mit den Polarkoordinaten ebenfalls die Grenzen bestimmen kann. Der Körper verwirrt mich, da die linke Ungleichung eine Kugel mit Radius 1 ist und bei der rechten Ungleichung der Radius von z abhängig ist. Ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und würde mich sehr über eine/n ausführliche/n Lösungsweg / Erklärung freuen.

Answer 1

Hallo

dass das erste das Innere einer Kugel vom Radius 1 ist siehst du?

das zweite  umformen mit z^2-2z=z^2-2z+1-1=(z-1)^2-1

also in x^2+y^2+(z-1)^2<1 das Innere der um 1 nach oben verschobenen Kugel,

also Kugel oder Zylinderkoordinaten benutzen.

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort :) . Ich habe jetzt Zylinderkoordinaten benutzt und mein Endergebnis ist jetzt pi. Ich hoffe, dass es richtig ist. Ich habe leider keine Musterlösung um zu vergleichen

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die beiden Bedingngen an die Koordinaten schränken die Werte für \(z\) ein:$$0\le x^2+y^2+z^2<2z\quad\implies\quad0<2z\quad\implies\quad z>0$$$$z^2=1-x^2-y^2<1\quad\;\;\implies\quad z^2<1\quad\implies\quad-1< z<1$$Beide Bedingungen gemeinsam fordern: \(z\in(0|1)\).

Je nach dem Wert von \(z\) wird das Quadrat \(r^2=x^2+y^2+z^2\) des Radius durch eine der beiden Bedingungen stärker eingeschränkt, konkret gilt:$$x^2+y^2+z^2<2z\le1\quad\text{für }z\in\left(0\bigg|\frac12\right)\quad;\quad x^2+y^2+z^2<1\le2z\quad\text{für }z\in\left[\frac12\bigg|1\right)$$

Zur Berechnung des Integrals bieten sich daher Zylinder-Koordinaten an, die wir auf zwei Abtastvektoren aufteilen:$$\vec r_1=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0|2z-z^2]\;;\;\varphi\in[0|2\pi]\;;\;z\in\left[0\bigg|\frac12\right]$$$$\vec r_2=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0|1-z^2]\;;\;\varphi\in[0|2\pi]\;;\;z\in\left[\frac12\bigg|1\right]$$

Mit dem Volumenelement \(dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\) in Zylinderkoordinaten können wir nun das Integral wie folgt formulieren:$$I=\int\limits_{z=0}^{\frac12}\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{r=0}^{2z-z^2}z\,r\,dr\,d\varphi\,dz+\int\limits_{z=\frac12}^{1}\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{r=0}^{1-z^2}z\,r\,dr\,d\varphi\,dz$$$$\phantom{I}=2\pi\int\limits_{z=0}^{\frac12}\int\limits_{r=0}^{2z-z^2}z\,r\,dr\,dz+2\pi\int\limits_{z=\frac12}^{1}\int\limits_{r=0}^{1-z^2}z\,r\,dr\,dz$$$$\phantom{I}=2\pi\int\limits_{z=0}^{\frac12}\left[\frac{zr^2}{2}\right]_{r=0}^{2z-z^2}dz+2\pi\int\limits_{z=\frac12}^{1}\left[\frac{zr^2}{2}\right]_{r=0}^{1-z^2}dz$$$$\phantom{I}=\pi\int\limits_{z=0}^{\frac12}z(2z-z^2)^2\,dz+\pi\int\limits_{z=\frac12}^{1}z(1-z^2)^2\,dz$$$$\phantom{I}=\pi\int\limits_{z=0}^{\frac12}\left(z^5-4z^4+4z^3\right)dz+\pi\int\limits_{z=\frac12}^{1}\left(z^5-2z^3+z\right)dz$$$$\phantom{I}=\frac{77\,\pi}{1920}+\frac{9\,\pi}{128}=\frac{77\,\pi}{1920}+\frac{135\,\pi}{1920}=\frac{212\,\pi}{1920}=\frac{53}{480}\,\pi$$

Bitte nochmal nachrechnen...

Comments

Vielen Dank für diese Antwort :) Jetzt ist alles verständlich