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Hallo, kann mir jemand bitte helfen wie ich die folgende Aussage beweisen muss/kann:

Seien K ein Körper und A,B ∈ Matn×n(K) zwei belieibige Matrizen so gilt:

det

AB
BA

=det(A+B)×det(A-B)

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Wir addieren die Spalten n+1 zu Spalte 1, Spalte n+2 zu Spalte 2, ...

..., Spalte 2n zu Spalte n. Dadurch ändert sich die Determinante nicht

(Scherungsinvarianz bzgl. Spalten). Nun sieht sie so aus

A+BBB+AA\left|\begin{array}{cc}A+B&B\\B+A&A\end{array}\right|.

Nun subtrahieren wir Zeile 1 von Zeile n+1, Zeile 2 von Zeile n+2, ...

..., Zeile n von Zeile 2n und erhalten

A+BB0AB\left|\begin{array}{cc}A+B&B\\0&A-B\end{array}\right|.

Diese Blockmatrix hat bekanntermaßen als Determinante

das Produkt der Determinanten der Diagonalblöcke,

q.e.d.

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