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Aufgabe:

Seien \( n \geq 1, K \) ein Körper, \( a, b \in K \) mit \( a \neq b \) und \( C_{n}=\left(c_{i j}\right) \in K^{n \times n} \) mit
\( C_{n}=\left(\begin{array}{cccc} a+b & a b & & 0 \\ 1 & a+b & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & a b \\ 0 & & 1 & a+b \end{array}\right), \text { also } c_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} a+b & \text { für } i=j, \\ a b & \text { für } i=j-1, \\ 1 & \text { für } i=j+1, \\ 0 & \text { sonst. } \end{array}\right. \)
Zeigen Sie \( \operatorname{det}\left(C_{n}\right)=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} \).



Problem/Ansatz:

Mein Plan war es das über Induktion und der Definition der Determinante zu machen. Irgendwie klappt das nicht so 100% wie ich will.

Wäre über Hilfe/Lösung sehr dankbar.

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Beste Antwort

Ich schreib dir mal den Induktionsschritt \(n-1 \rightarrow n\) hin.

$$\det C_n = (a+b)\det C_{n-1} - ab\det C_{n-2}$$

$$= (a+b)\frac{a^n-b^n}{a-b} - ab\frac{a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}$$

$$\stackrel{ausrechnen}{=}  \frac{a^{n+}-b^{n+1}}{a-b}$$

Beachte, für diese Induktion musst du für den Induktionsanfang zeigen, dass die Formel sowohl für \(C_1\) als auch für \(C_2\) richtig ist.

Avatar von 10 k

ah ich dummkopf hab mir die matrizen aufgezeichnet und dachte ich kann dann die Determinanten über die Diagonale bestimmen. Aber so macht es das natürlich deutlich leichter vielen dank euch beiden!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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Mein Plan war es das über Induktion und der Definition der Determinante zu machen.

Gute Idee.

Wenn du das nach der ersten Zeile entwickelst, musst du nur (a+b) mit der Determinante multiplizieren, die nach Streichen der ersten Zeile und Spalte bleibt (und die ist auch mit reichlich Nullen besetzt).

Dann musst du a*b mit der Determinante multiplizieren, die nach Streichen der ersten Zeile und zweiten Spalte bleibt.

Alle weiteren Elemente der ersten Zeile sind 0 und tragen nichts mehr zum Ergebnis bei.

Es bleibt, die Differenz der beiden ersten Ergebnisse zu bilden.

Avatar von 53 k 🚀

Ja ich habs probiert und verstehe was ich machen soll, aber dann erhalte ich wieder 2 matrizen mit denen ich bis auf die zweite nichts anfangen kann. :D

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