Zeigen sie \left|ei s-ei t\right|=2 \sin \frac{s-t}{2}

Question

Aufgabe:  
$\operatorname{Sei} \varphi \in R^{+}$und $0=t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{n}=\varphi$
Zeigen sie $\left|e^{i s}-e^{i t}\right|=2 \sin \frac{s-t}{2}$
Fur $s, t \in R, 0 \leq s-t \leq 2 \pi$

Problem/Ansatz: Versteh es leider nicht

Answer 1

Hallo,

niemand kann das verstehen, weil es wohl 2 Teile aus verschiedenen Aufgabe sind.

Wenn wir jetzt mal nur den 2. Teil nehmen: Es gilt

$$s=0.5(s-t)+0.5(s+t) \qquad t=-0.5(s-t)+0.5(s+t)$$

Also

$$\exp(is)=\exp[0.5(s-t)i+0.5(s+t)i] \quad \exp(it)=\exp[-0.5(s-t)i+0.5(s+t)i]$$

Also

$$|\exp(is)-\exp(it)|$$

$$=|\left[\exp(0.5(s-t)i)-\exp(-0.5(s-t)i)\right] \exp(0.5(s+t)i)|$$

$$=|2 \sin(0.5(s-t)|$$

Gruß Mathhilf