Wenn aX2+bY2=Z2 nicht-triviale Lösung besitzt, so gilt...

Question

Aufgabe:

z.Z.:

a, b quadratfreie ganze Zahlen, die nicht beide negativ sind.

Wenn $$aX^2+bY^2=Z^2$$ eine nicht-triviale Lösung über $\mathbb{Q}$$ besitzt, so gilt:

1. a ist Quadrat modulo b

2. b ist Quadrat modulo a

3. $$-\frac{ab}{d^2}$$ ist Quadrat modulo d, für d=ggT(a,b).

Es sollen beide Richtungen gezeigt werden.

Comments

Hallo,
soll "beide Richtungen" bedeuten, dass die 2-te Richtug lautet:
Wenn 1.,2. und 3. erfüllt sind, dann besitzt Gleichung eine
nichttriviale rationale Lösung?
Gruß ermanus

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Genau, so ist es gemeint.

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Die 1. Richtung ist aber die für uns wichtigere, bzw. die, auf der der Fokus liegen sollte. Die 2. Richtung wäre nur ein "Zusatz".

Answer 1

Vorab: man überlege sich (z.B. anhand Primfaktorzerlegung), dass

eine ganze Zahl, die ein Quadrat rationaler Zahlen ist, auch ein

Quadrat ganzer Zahlen ist. Kann man auch mit Lemma von Gauss

begründen.

1. und 2.:

Es sei $(u,v,w)$ eine nichttriiale rationale Lösung von

$aX^2+bY^2=Z^2$, also $au^2+bv^2=w^2$.

1. Fall: $w\neq 0$:

Ist nun $u=0$, dann hat man $bv^2=w^2$, also $v\neq 0$

und $b=(w/v)^2$, also nach der Vorab-Betrachtung ist $b$

das Quadrat einer ganzen Zahl und daher erst recht ein Quadrat mod $a$.

Wegen der Quadratfreiheit von $b$  ist das nur möglich,

wenn $b=1$ ist und $w=\pm v\neq 0$

$a$ ist als ganze Zahl trivialerweise ein Quadrat mod b=1,

da $a\equiv 0^2=0$ mod $1$.

Ebenso verfährt man mit $v=0$.

Kommst du nun alleine weiter ?