Vektorrechnung Radarsysytem. Auf einem Sportflugplatz.

Question

Auf einem Sportflugplatz wird ein radargestütztes System erprobt. Das Radarsystem verwendet ein dreidimensionales Koordinatensystem, Flugbahnen werden durch Geraden, Warteschleifen werden durch Ebenen modelliert. Das Gelände des Flugplatzes liegt in der \( \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2} \) -Ebene. Alle Orts- und Längenangaben erfolgen in Meter. Die Mittellinie der \( 80 \mathrm{~m} \) breiten Landebahn hat die Endpunkte

Nach Durchfliegen einer Warteschleife in \( 1200 \mathrm{~m} \) Höhe befindet sich ein Flugzeug im Landeanflug auf der Geraden \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-200 \\ -500 \\ 70\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}10 \\ 5 \\ -1\end{array}\right) ; t \in \mathbb{R} \).

2.1 Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, in der die Warteschleife liegt.

2.2 In welchem Punkt T setzt das Flugzeug auf dem Boden auf? Weisen Sie nach, dass \( \mathrm{T} \) auf der Mittellinie der Landebahn liegt.

2.3 Zeigen Sie, dass das Flugzeug die Landebahn so anfliegt, dass es nach dem 7 Aufsetzen auf der Mittellinie ausrollen kann. Wie lang ist die Strecke, die für das Ausrollen zur Verfügung steht?

(Abitur 2009 , Baden-Wurttemberg.)

Answer 1

2.1)

Die Ebene liegt in 1200 Metern Höhe und (was anzunehmen ist) komplanar zur Bodenebene. Das bedeutet, dass die z-Komponenten der Vektoren, die die Ebene aufspannen, den Wert Null haben. Welche Werte die jeweiligen x - bzw. y-Komponenten haben ist gleichgültig, solange die beiden Vektoren  linear unabhängig sind. Also könnte die Ebenengleichung z.B. so aussehen:

$${ E }_{ WS }:\vec { x } =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1200 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

2.2)

Das Flugzeug setzt auf dem Boden auf, wenn seine z-Komponente den Wert Null annimmt, also:

70 - t = 0

<=> 70 = t

Der Aufsetzpunkt ist dann:

$$\vec { T }=\begin{pmatrix} -200 \\ -500 \\ 70 \end{pmatrix}+70\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 500 \\ -150 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Die Mittellinie hat die Gleichung:

$$g:\vec { x } =\vec { U } +\lambda \vec { (V } -\vec { U } )=\begin{pmatrix} 400 \\ -200 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda (\begin{pmatrix} 1200 \\ 200 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 400 \\ -200 \\ 0 \end{pmatrix})$$$$=\begin{pmatrix} 400 \\ -200 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 800 \\ 400 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Der Punkt

$$\vec { T } =\begin{pmatrix} 500 \\ -150 \\ 0 \end{pmatrix}$$

liegt auf der Trägergeraden der Mittelliinie, wenn es ein λ gibt, sodass gilt:

$$\begin{pmatrix} 400 \\ -200 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 800 \\ 400 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 500 \\ -150 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Aus der ersten Gleichung dieses Gleichungssystems folgt:

400 + λ * 800 = 500

<=> λ = 1 / 8

Mit diesem Wert für λ werden auch die beiden anderen Gleichungen des Gleichungssystems wahr. Also liegt T auf der Trägergeraden der Mittellinie.

Da λ positiv ist, liegt T vom Anfangspunkt U der Mittellinie aus gesehen in Richtung ihres Endpunktes V.  T liegt also auf der Mittellinie selbst, wenn die Strecke T-U kleiner ist als die Strecke V-U

Es gilt:

$$|T-U|=|\begin{pmatrix} 500 \\ -150 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 400 \\ -200 \\ 0 \end{pmatrix}|=|\begin{pmatrix} 100 \\ 50 \\ 0 \end{pmatrix}|=\sqrt { (100^{ 2 }+50^{ 2 }+0^{ 2 } } =\sqrt { 12500 } \approx 111,8$$$$|V-U|=|\begin{pmatrix} 1200 \\ 200 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 400 \\ -200 \\ 0 \end{pmatrix}|=|\begin{pmatrix} 800 \\ 400 \\ 0 \end{pmatrix}|=\sqrt { (800^{ 2 }+400^{ 2 }+0^{ 2 } } =\sqrt { 12500 } \approx 894,4$$

Also liegt T tatsächlich auf der Mittellinie des Rollfeldes.

2.3)

Das Flugzeug kann dann auf der Mittellinie ausrollen, wenn der auf die x-y-Ebene projizierte Richtungsvektor seiner Landeanflugsgeraden ein Vielfaches des Richtungsvektors der Mittellinie ist, wenn es also ein λ gibt, sodass gilt:

$$\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix} 800 \\ 400 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Das gilt für λ = 1 / 80

Das Flugzeug kann also auf der Mittellinie ausrollen. Die dafür zur Verfügung stehende Länge ist gleich der Länge der Landebahn, also | V - U |abzüglich des Abstandes des Aufsetzpunktes vom Beginn der Landebahn, also der Länge der Strecke | T - U |. Beide wurden bereits weiter oben berechnet:

| V - U | = 894,4 m

| T - U | 111,8 m

Also stehen

894,4 - 111,8 = 782,6 m

Landebahn zum Ausrollen zur Verfügung.