Bestimme die Matrix des Endomorphismus bezüglich einer geeigneten Basis.

Question

Aufgabe:
Sei \( V \) der Vektorraum der reellen, symmetrischen \( 2 \times 2 \) Matrizen \( X= \) \( \left(\begin{array}{ll}x & y \\ y & z\end{array}\right) \), und sei \( A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \). Man bestimme die Matrix des Endomorphismus von \( \mathrm{V} \), der durch die Zuordnung \( X \mapsto A X A^{t} \) definiert wird, bezüglich einer geeigneten Basis.

Ich bin mir unsicher wie man die Basis von Matrizen bildet und ob ich diese Aufgabe richtig verstanden habe.

hier aber mein Ansatz:

AXA^t = \( \begin{pmatrix} 4x+4y+z & 2y+z \\ 2y+z & z \end{pmatrix} \)

Somit sollte span{ \( \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) } eine Basis bilden.

Answer 1

Aloha :)

Deine erste Rechnung kann ich bestätigen. Daraus erhältst du eine mögliche Basis:$$AXA^{T}=\begin{pmatrix}4x+4y+z & 2y+z\\2y+z & z\end{pmatrix}$$$$\phantom{AXA^{T}}=x\begin{pmatrix}4 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}4 & 2\\2 & 0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}$$

Das ist dieselbe Basis, die du auch angegeben hast. Ich würde sie vielleicht noch "kürzen":$$\phantom{AXA^{T}}=4x\pink{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}}+2y\pink{\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}}+z\pink{\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}}$$Aber das ist Geschmacksache.

Zur Angabe des Endomorphismus \(V\) brauchst du die Bilder der Basiselemente in der Darstellung der Basiselemente:$$A\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}A^T=\begin{pmatrix}4 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}=4\pink{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}}+0\pink{\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}}+0\pink{\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}}$$$$A\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}A^T=\begin{pmatrix}12 & 2\\2 & 0\end{pmatrix}=8\pink{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}}+2\pink{\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}}+0\pink{\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}}$$$$A\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}A^T=\begin{pmatrix}9 & 3\\3 & 1\end{pmatrix}=4\pink{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}}+2\pink{\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}}+1\pink{\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}}$$

Damit hast du die Spalten der gesuchten Abbildungsmatrix:$$V=\begin{pmatrix}4 & 8 & 4\\0 & 2 & 2\\0 & 0 &1\end{pmatrix}$$