Aloha :)
Zur Divergenz der Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1n\):$$\phantom{>}1+\frac{1}{2}+\boxed{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}+\boxed{\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}+\boxed{\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{16}}+\cdots$$$$>1+\frac{1}{2}+\boxed{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}+\boxed{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}+\boxed{\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{16}}+\cdots$$$$=1+\frac{1}{2}+\boxed{\frac{2}{4}}+\boxed{\frac{4}{8}}+\boxed{\frac{8}{16}}+\cdots$$$$=1+\frac{1}{2}+\boxed{\frac{1}{2}}+\boxed{\frac{1}{2}}+\boxed{\frac{1}{2}}+\cdots$$Da die Reihe unendlich lang ist, kannst du immer Brüche auf die gezeigte Weise zu \(\frac{1}{2}\) zusammenfassen und addierst so unendlich oft \(\frac{1}{2}\) auf die \(1\).
Zur Konvergenz der Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\):
Betrachte zunächst die endliche Summe mit \(N\ge2\):$$S_N=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2}=1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n^2}<1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n\cdot(n-1)}=1+\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{1}{n-1}-\frac1n\right)$$Die Abschätzung \(<\) gilt, weil ein Bruch größer wird, wenn wir seinen Nenner verkleinern. Anschließend wurde der Bruch in 2 Brüche zerlegt. Falls du das nicht sofort siehst, hier etwas ausführlicher:$$\frac{1}{n\cdot(n-1)}=\frac{n-(n-1)}{n\cdot(n-1)}=\frac{n}{n\cdot(n-1)}-\frac{(n-1)}{n\cdot(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac1n$$Mit der Zerlegung der Summe rechnen wir weiter:$$S_N<1+\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{1}{n-1}-\frac1n\right)=1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n-1}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}=1+\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{(n+1)-1}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}$$$$\phantom{S_N}=1+\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac1n-\sum\limits_{n=2}^N\frac1n=1+\left(\frac11+\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac1n\right)-\left(\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac1n+\frac{1}{N}\right)$$$$\phantom{S_N}=1+\frac11-\frac1N=2-\frac1N$$
Damit haben wir gefunden:$$\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2}<2-\frac1N\quad;\quad N\ge2$$Die Summe über \(\frac{1}{n^2}\) ist also nach oben durch \(2\) beschränkt. Ihr Grenzwert beträgt übrigens \(\frac{\pi^2}{6}\).
