Zeigen Sie, dass für jedes p ∈ (0, 1) gilt

Question

Sei n ∈ N, X = {0, 1, . . . , n} und p(x; p) = (n über x) p^x(1 − p)ⁿ−1, p ∈ (0, 1), und sei c > 0.

a) Zeigen Sie, dass für jedes p ∈ (0, 1) gilt

{x ∈ {0,1, ..., n} -c <= $\sqrt{n}$ $\frac{x/n -p}{\sqrt{p(1-p)}}$ <= c} = {x ∈ {0,1,...,n | p ∈ I(x)}

wobei I(x) = [U (x), O(x)] mit

U(x) = max($\frac{x + c^2/2}{n+c^2}$  - $\frac{c(n x/n (1-x/n) + c^2 / 4)^1/2}{n+c^2}$, 0),

O(x) = min ($\frac{x+c^2 /2}{n+c^2}$  + $\frac{c(n x/n(1-x/n) + c^2 / 4)^1/2}{n+c^2}$ , 1).