Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von ist.

Question

Sei

\( U=\left\{p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid p(x)=\alpha x^{2}+\beta x^{3}, \alpha, \beta \in \mathbb{R}\right\} . \)
Zeigen Sie, dass \( U \) ein Untervektorraum von \( \left(\Pi_{3}(\mathbb{R}), \oplus, \odot\right) \) ist.

Answer 1

1. Es ist das Nullpolynom aus U, setze α=ß=0.

2. Die Summe zweier Elemente von U ist aus, denn wenn

etwa \(  p(x)=\alpha_1 x^{2}+\beta_1 x^{3}   \) und \(  q(x)=\alpha_2 x^{2}+\beta_2 x^{3}  \)

dann gilt für die Summe \(  (p+q)(x)=(\alpha_1 + \alpha_2)x^{2}+(\beta_1 +\beta_1)x^{3}  \)

3. Entsprechend für k∈ℝ ist auch k*p aus U

Answer 2

Es handelt sich um den Spann \(span(p_2,p_3)\),

(auch lineare Hülle genannt),

wobei \(p_n(x)=x^n\) bedeutet.