Zeigen Sie, dass Ut für jedes t ∈ ℝ ein Untervektorraum von ℝ^3 ist

Question

Für t ∈ ℝ sei U_t = {(x, y, z) ∈ ℝ³ | x+2y−tz = 0}.

(a) Zeigen Sie, dass U_t für jedes t ∈ ℝ ein Untervektorraum von ℝ³ ist.

(b) Bestimmen Sie, für t ∈ ℝ, eine Basis von U_t und eine Ergänzungderselben zu einer Basis von ℝ³.
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(c) Bestimmen Sie, für s, t ∈ ℝ, eine Basis von U_s ∩ U_t.

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Comments

a) Man bestimmt Untervektorraum, in dem man prüft, ob Ut eine Teilmenge von ℝ³.

U_t ist nicht leer, weil Nullvektor ∈ ℝ³ ist.

U_t muss unter 1. Vektoraddition und 2. Skalarmultiplikation abgeschlossen sein.

1. ∀ x, y, z ∈ ℝ³  und ∀t ∈ ℝ: (x, y, tz) + (x, y, tz) ∈ ℝ³ 

2. ∀x, y, z ∈ ℝ³, ∀t ∈ ℝ und k ∈ K : k*(x, y, tz) ∈ ℝ³ (K ist ein Körper)

Answer 1

Für t ∈ ℝ sei Ut = {(x, y, z) ∈ ℝ3 | x+2y−tz = 0}.
(a) siehe Kommentar


(b) Bestimmen Sie, für t ∈ ℝ, eine Basis von Ut

da brauchst du 2 linear unabhängige Elemente

aus Ut; denn Rang = 1.

z.B.  ( -2 ; 1 ; 0 ) und  ( t ; 0 ; 1 ) 

und die kannst du durch (1;0;0) zu

einer Basis von R3 ergänzen..

(c) Bestimmen Sie, für s, t ∈ ℝ, eine Basis von Us ∩ Ut.

1. Fall s=t dann wie bei b)

2. Fall s≠t 

x+2y−sz = 0    und  x+2y−tz = 0   

für Us ∩ Ut gilt dann 

x+2y−sz = 0    und     (s−t)z = 0  

wegen s≠t     ==>   z=0 und x+2y=0 also x=-2y 

also Basis besteht nur aus  ( -2 ; 1 ; 0 )