Bestimmen Sie die zur Abbildung φ gehörige (von t abhängige) Abbildungsmatrix

Question

Aufgabe:

Sei t eine beliebige reelle Zahl. Wir betrachten eine lineare Abbildung  φ: R^{2   ->} R² mit
der Eigenschaft

 φ((2,0)) = (0,2)    und    φ((1, 1)) = (1, 1+t)
.
a)  Bestimmen Sie die zur Abbildung  φ  gehörige (von t abhängige)  Abbildungsmatrix
A.

b)  Begründen Sie, warum φ  stets invertierbar ist.

Mit  ψ =  φ^-1 werde die Inverse der Abbildung φ bezeichnet, d.h. v = ψ(φ(v)) für v∈R² .

c)  Berechnen Sie ψ((1, 3+t))

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Da du weißt, wie die Abbildung auf zwei Elemente wirkt, kennst du auch die Wirkung der Abbildungsmatrix \(A\) auf diese beiden Elemente$$A\cdot\binom{2}{0}=\binom{0}{2}\quad;\quad A\cdot\binom{1}{1}=\binom{1}{1+t}$$und kannst diese beiden Gleichungen zu einer Matrix-Gleichung zusammenfassen:$$A\cdot\begin{pmatrix}2 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\2 & 1+t\end{pmatrix}$$Daraus folgt die gesuchte Abbildungsmatrix:$$A=\begin{pmatrix}0 & 1\\2 & 1+t\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 1\\2 & 1+t\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\frac12 & -\frac12\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & t\end{pmatrix}$$

zu b) Die Determinante der Abbildungsmatrix ist unabhängig von \(t\) stets \((-1)\), also ungleich Null. Daher ist die Abbildung für alle \(t\) invertierbar.

zu c) Die Abbildungsmatrix \(B\) der Umkehrabbildung \(\Psi\) lautet:$$B=A^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & t\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}-t & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$$Daher lautet \(\Psi(1;3+t)\) so:$$B\cdot\binom{1}{3+t}=\binom{-t}{1}+\binom{3+t}{0}=\binom{3}{1}$$

Comments

Hallo T,

Du hast in Deiner 2. Formelzeile die Komponenten der ersten Spalte vertauscht, 2-0 statt 0-2

Gruß Mathhilf

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Danke dir, Mathhilf... \o/

Habe es korrigiert ;)