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Die Abbildung visualisiert die lineare Abbildung einer Spiegelung an der Geraden y=(1/7)*x. Es sind die Einheitsvektoren vor (rot) und nach der Spiegelung (grün) dargestellt.

Wie ist die zur linearen Abbildung die gehörige Abbildungsmatrix?

2.png

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Wie man die Aufgabe löst, kommt darauf an, was du weißt. Ich stelle dir mal zwei Möglichkeiten vor ...

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Wenn du dich mit Eigenwerten/Eigenvektoren auskennst:

Nenne die gesuchte Abbildungsmatrix \(A\).

Die Fixpunktgerade mit der Gleichung \(y = \frac{1}{7}\cdot x\) liefert dir den Eigenraum von \(A\) zum Eigenwert \(1\).

\[\text{Eig}(A, 1) = \left\lbrace\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2\middle| y = \frac{1}{7} x \right\rbrace = \left\lbrace\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2\middle| 7 y = x \right\rbrace = \left\lbrace\begin{pmatrix} 7y \\ y \end{pmatrix}\middle| y\in\mathbb{R} \right\rbrace=\left\langle\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}\right\rangle\]

Da \(A\) eine Spiegelung an der entsprechenden Ursprungsgeraden sein soll, liefern die dazu orthogonalen Vektoren den Eigenraum von \(A\) zum Eigenwert \(-1\).

\[\text{Eig}(A, -1) = \left\langle\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}\right\rangle^\perp=\left\langle\begin{pmatrix} 1 \\ -7 \end{pmatrix}\right\rangle\]

Mit \[S := \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 1 & -7 \end{pmatrix}, \quad D := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\] erhält man dann \[A = S\cdot D\cdot S^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 1 & -7 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 1 & -7 \end{pmatrix}^{-1} = \dots = \begin{pmatrix} \frac{24}{25} & \frac{7}{25} \\ \frac{7}{25} & -\frac{24}{25} \end{pmatrix}\text{.}\]

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Betrachte den Neigungswinkel \(\alpha = \arctan\left(\frac{1}{7}\right)\) der Geraden mit Steigung \(\frac{1}{7}\).

\[\tan\left(\alpha\right) = \frac{1}{7}\]

Dann ist die Abbildungsmatrix \(A\) gegeben durch \[A = \begin{pmatrix}\cos\left(2\alpha\right) & \sin\left(2\alpha\right) \\ \sin\left(2\alpha\right) & - \cos\left(2\alpha\right)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1 - \left(\tan\left(\alpha\right)\right)^2}{1 + \left(\tan\left(\alpha\right)\right)^2} & \frac{2\cdot\tan\left(\alpha\right)}{1 + \left(\tan\left(\alpha\right)\right)^2} \\ \frac{2\cdot\tan\left(\alpha\right)}{1 + \left(\tan\left(\alpha\right)\right)^2} & - \frac{1 - \left(\tan\left(\alpha\right)\right)^2}{1 + \left(\tan\left(\alpha\right)\right)^2}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{1 - \left(\frac{1}{7}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{7}\right)^2} & \frac{2\cdot\frac{1}{7}}{1 + \left(\frac{1}{7}\right)^2} \\ \frac{2\cdot\frac{1}{7}}{1 + \left(\frac{1}{7}\right)^2} & - \frac{1 - \left(\frac{1}{7}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{7}\right)^2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{24}{25} & \frac{7}{25} \\ \frac{7}{25} & -\frac{24}{25} \end{pmatrix}\text{.}\]

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