LGS in Abhängigkeit von c lösen

Question

Aufgabe:

Wenden sie die Lösbarkeitskriterien für LGS in Abhängigkeit von c an und lösen sie das folgende Gleichungssystem:

x+y+z=0

x+2y+3z=1

2x+3y+cz=1

;c Element der komplexen Zahlen

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline1 & 1 & 1 & 0 &\\1 & 2 & 3 & 1 & -Z_1\\2 & 3 & c & 1 & -2Z_1\\\hline1 & 1 & 1 & 0 &-Z_2\\0 & 1 & 2 & 1 &\\0 & 1 & c-2 & 1 &-Z_2\\\hline1 & 0 & -1 & -1 &\\0 & 1 & 2 & 1 &\\0 & 0 & c-4 & 0 &\end{array}$$

Ab hier müssen wir nun unterscheiden zwischen $c\ne4$ und $c=4$:$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline1 & 0 & -1 & -1 &\\0 & 1 & 2 & 1 &\\0 & 0 & c-4 & 0 &\colon(c-4)\\\hline1 & 0 & -1 & -1 &+Z_3\\0 & 1 & 2 & 1 &-2Z_3\\0 & 0 & 1 & 0 &\\\hline1 & 0 & 0 & -1 &\Rightarrow x=-1\\0 & 1 & 0 & 1 &\Rightarrow y=1\\0 & 0 & 1 & 0 &\Rightarrow z=0\\\hline\end{array}\quad;\quad\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline1 & 0 & -1 & -1 &\\0 & 1 & 2 & 1 &\\0 & 0 & c-4 & 0 &c=4\\\hline1 & 0 & -1 & -1 &\Rightarrow x=z-1\\0 & 1 & 2 & 1 &\Rightarrow y=-2z+1\\0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\\hline\end{array}$$

Für den Fall $c\ne4$ erhalten wir eine eindeutige Lösung $(x;y;z)=(-1;1;0)$.

Für den Fall $c=4$ erhalten wir unendlich viele Lösungen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z-1\\-2z+1\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+z\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\quad;\quad z\in\mathbb C$$

Comments

Vielen Dank, Top Antwort !

Answer 2

Bilde die Determinante und guck, für welche Werte von c sie gleich Null ist.

Comments

Ich müsste es mit dem Gauß algorithmus lösen. Dann stünde in der letzten zeile:

c-4=0

Und was heißt das jetzt ? Bzw. wie mache ich weiter ?