Gilt für gegebene f und g die Kettenregel?

Question

Aufgabe:

$$\text{Ist f:} \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text {differenzierbar und g:} \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{, x}\rightarrow \text{c}\cdot \text{x, dann gilt die Kettenregel (f o g)' = (f' o g)} \cdot g'.$$

Problem/Ansatz:

Ich dachte mir, dass man zeigen muss, dass f und g die Bedingungen der Kettenregel erfüllen müssen.

f ist differenzierbar und g(ℝ) = ℝ ⊂ ℝ. D.h. das einzige, was noch zu zeigen ist, ist das g differenzierbar ist.

Ich dachte mir folgendes: Ich weiß, dass h(x) = c differenzierbar ist mit h'(x) = 0. Außerdem ist j(x) = xⁿ differenzierbar mit j'(x) = n*x^n-1.

Jetzt könnte man die Produktregel benutzen, nach der auch h(x)*j(x) = g(x) differenzierbar ist mit

g'(x) = h'(x)*j(x) + h(x)*j'(x) = 0*x + c*1 = c.

Reicht das schon, oder ist das komplett der falsche Ansatz?

Answer 1

Hallo

da f und g differenzierbar mit g(x)=c*x du sollst die Kettenregel nicht auf g anwenden, da das ja gar keine verkettete funktion ist sondern auf f(g(x)) als f(c*x)

Dass c*x differenzierbar ist kannst du einfach annehmen, und musst du nicht beweisen also höchsten hinschreiben dass da f'(c*x)*c ist .

Das heisst du machst es dir zu schwer, aber nicht falsch. sowohl Produktregel als auch Differenzierbarkeit allgemein von x^n ist viel komplizierter und damit "höher" als die Differenzierbarkeit von g(x), wenn du es also unbedingt willst direkt mit dem GW von (cx-cx0)/(x-x0)

Gruß lul

Comments

Ja, aber irgendwas muss ich ja zeigen, sonst gäbe es die Aufgabe ja nicht und das einzige, was man hier zeigen könnte, ist das g differenzierbar ist, damit dann die Kettenregel nach Definition gilt.

Aber ja mit der Definition der Differenzierbarkeit wäre es einfacher gewesen als mit Produktregel.

Danke dir!