Extrema mit Nebenbedigung (Lagrange)

Question

Hallo, ich habe ein Frage bezüglich des Lagrange Verfahrens (bzw. einem kleinen Rechenschritt) und ich wäre sehr dankbar, wenn ihr meine Frage beantworten könntet.

Aufgabe:

$\begin{pmatrix} 1\\-1\\ \end{pmatrix}$ = λ * $\begin{pmatrix} 2x\\2y\\ \end{pmatrix}$

Lösung x = $\frac{1}{2λ}$ y=$\frac{-1}{2λ}$

Problem/Ansatz: Kann mir jemand erklären, wie man auf die x und y werte gekommen ist?

Mein Ansatz wäre  ja 1 =  λ * 2x und -1=  λ * 2y ... aber weiter Blicke ich da nicht durch...

Answer 1

Aloha :)

Hier wurden einfach die Gleichungen für die erste und die zweite Koordinate jede für sich umgeform:

$$\text{1-te Koordinate:}\quad 1=\lambda\cdot2x\implies x=\frac{1}{2\lambda}$$$$\text{2-te Koordinate:}\quad -1=\lambda\cdot2y\implies y=-\frac{1}{2\lambda}$$

Das ist allerdings nicht wirklich zielführend. Besser wäre es, die Gleichung der ersten Koordinate durch die Gleichung der zweiten Koordinate zu divideren:

$$\frac{1}{-1}=\frac{\lambda\cdot2x}{\lambda\cdot2y}=\frac{\cancel{\lambda\cdot2}\,x}{\cancel{\lambda\cdot2}\,y}=\frac xy\implies\frac xy=-1\implies x=-y$$Diese Forderung $(x=-y)$ kannst du nun nämlich in die Nebenbedingung einsetzen. Dadurch fällt eine der beiden Variablen weg und die Nebenbedingung wird zu einer Gleichung, die nur noch von einer Variablen abhängt. Die kannst du dann lösen.