Da es für (1 + (1/n))^(n) gilt?

Question

Aufgabe:

Wieso ist der Grenzwert von(1 + (1/n^2))^(n^2)  ?= e fur n -> unendlich

Problem/Ansatz:

Da es für (1 + (1/n))^(n) gilt? Wieso dann auch für n^2

Answer 1

\((1+\frac{1}{n^2})^{n^2}\) ist eine Teilfolge von \((1+\frac{1}{n})^n\).

Alle Teilfolgen einer konvergenten Folge haben denselben Grenzwert

wie die Gesamtfolge. Das ist ein (hoffentlich) bekannter Satz ;-)

Answer 2

Aloha :)

Wenn \(n\) gegen \(\infty\) geht, dann geht auch \(n^2\) gegen \(\infty\):$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=\lim\limits_{n^2\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=e$$Du greifst beim Übergang von \(n\) zu \(n^2\) nicht mehr alle Elemente der Folge heraus, sondern nur das 1-te, 4-te, 9-te,16-te... aber diese Folgenglieder konvergieren ebenfalls gegen \(e\).

Comments

danke für deine antwort.

würde das auch für (1 + (1/n^2))^(n) oder n(1 + (1/n))^(n^2) gelten?

---

Nein                                                .