Lineares Gleichungssystem lösen mittels welcher Methode?

Question

Aufgabe:

Lineares Gleichungssystem lösen

Problem/Ansatz:

Folgende Aufgabe:

Untersuchen Sie das LGS auf Lösbarkeit. Geben Sie die Lösungsmenge an.

-2x+2y-4z = -2

x+3z = 0

x-y+2z = 1

Habe mir bereits die Lösung angesehen im beigefügten Lösungsheft. Diese ist: L = (-3c;-1-c;c).

Verstehe nicht, woher der Parameter C nun auf einmal herkommt, bei den vorherigen Gleichungssystemen gab es immer eine konkrete Lösung aus 3 Koordinaten. Vielleicht eine Art Substitution mit dem Buchstaben c? Würde mich freuen, wenn es mir wer erklärt. ;)

Comments

Teile die 1. Gleichung durch (-2)!

Answer 1

-2x+2y-4z = -2

x+3z = 0    ==>    x = -3z

x-y+2z = 1

Ersetze bei I und III   x=-3z

6z+2y-4z = -2
-3z-y+2z = 1

vereinfachen

2z + 2y = -2
 -z - y = 1     ==>   y = -z-1

in I einsetzen gibt 2z + 2( -z-1) = -2    <=>  -2=-2

Das stimmt also immer. D.h. : Du kannst für z jede beliebige Zahl

einsetzen, in deinem Lösungsheft haben die diese c genannt.

Wegen   y = -z-1 also    y = -c-1

und wegen x=-3z  also x= -3c .

Answer 2

Die erste Gleichung entspricht der dritten Gleichung mal (-2). Daher enthält sie keine zusätzlichen Informationen und kann weggelassen werden.

Da nun noch zwei Gleichungen mit 3 Variablen dastehen, gibt es unendlich viele Lösungen.

Die 2. Gleichung liefert x=-3z.

Das wird in die dritte Gleichung eingesetzt und nach y aufgelöst.

x-y+2z = 1

-3z-y+2z = 1 → y = -1-z

Also ist (-3z; -1-z; z) die allgemeine Lösung.

Geometrisch entsprechen die drei Gleichungen drei Ebenen. Da zwei Ebenen identisch sind, betrachten wir zwei Ebenen, die sich in einer Geraden schneiden. Die Punkte der Geraden entsprechen der Lösung.

:-)

Comments

Super danke, mir dann nicht ganz verständlich, wieso die im Lösungsbuch z zu c abgeändert haben ...

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Und wie kommt man explizit auf z=z bzw. z=c?

Das habe ich noch nicht verstanden.

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Du kannst auch alles durch x oder y ausdrücken.

Z.B.

z=-x/3

y=-1+x/3

--> (x; -1+x/3; -x/3)