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Aufgabe:

Screenshot 2022-02-09 213744.png

Text erkannt:

Zeigen Sie die Ungleichung
\( \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}+2 x \sqrt{1-x^{2}} \text { für } x \in[-1,1] . \)
Untersuchen Sie dazu die Extremalstellen der Funktion \( f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( f(x)=\arcsin (x)-2 x \sqrt{1-x^{2}} . \)


Problem/Ansatz:

Hallo habe Probleme mit dieser Aufgabe. Ich komme einfach auf keine Lösung. Ich weiß dass sin(± π/6) = ± 1/2 gilt, aber komme trotzdem nicht weiter. Kann eventuell mir hier jemand helfen die Aufgabe zu lösen?

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Ignorierst du den Hinweis

Untersuchen Sie dazu die Extremalstellen der Funktion ...

absichtlich, oder hast du nur seinen dringenden Aufforderungscharakter nicht erfasst?

Wenn ich ehrlich bin verstehe ich den Kommentar nicht. Was genau meinen Sie?

Was hast du denn mit dem Vorschlag gemacht?  und was hat das mit sin(± π/6) = ± 1/2 zu tun?

du must doch nur zeigen, dass sogar das Max der Differenzfunktion negativ ist

Gruß lul

Das mit dem sin steht als Hinweis unter der Aufgabe. Und genau das hat mich verwundert und ich wusste nicht genau was ich damit anfangen soll. Deswegen die Frage hier. Ob ich irgendwas falsch verstanden hab und wie man eben die Aufgabe löst.

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Wir folgen dem angegebenen Rezept und untersuchen die Extermwerte von$$f(x)\coloneqq\arcsin(x)-2x\sqrt{1-x^2}\quad;\quad x\in[-1|1]$$Da wir mit dem Besteck der Differentialrechnung nur \(x\in(-1|1)\) betrachten können, halten wir zunächst für die Ränder des Definitionsbereichs fest, dass:$$f(-1)=-\frac\pi2\quad;\quad f(1)=\frac\pi2\quad\implies\quad f(-1)\le\frac\pi2\quad\land\quad f(1)\le\frac\pi2$$

Jetzt suchen wir das Maximum der Funktion im Intervall \(x\in(-1|1)\). Kandidaten für Extremwerte sind die Nullstellen der ersten Ableitung:$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-2\sqrt{1-x^2}-2x\,\frac{(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{2(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{1-2+2x^2+2x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{4x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}$$Beide Nullstellen der ersten Ableitung \(x_{1;2}=\pm\frac12\) liegen im Definitionsbereich. Wir prüfen die Kandidaten, ob es tatsächlich Extrema sind. Dazu brauchen wir die zweite Ableitung:$$f''(x)=\frac{8x\sqrt{1-x^2}-(4x^2-1)\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}=\frac{8x(1-x^2)+(4x^2-1)x}{(1-x^2)^{3/2}}$$$$f''(x)=\frac{8x-8x^3+4x^3-x}{(1-x^2)^{3/2}}=\frac{x(7-4x^2)}{(1-x^2)^{3/2}}$$Die Prüfung ergibt:$$f''(-1/2)=-\frac{8}{\sqrt3}<0\implies\text{Maximum bei }x=-\frac12$$$$f''(+1/2)=+\frac{8}{\sqrt3}>0\implies\text{Minimum bei }x=+\frac12$$Der Maximalwert der Funktion im Intervall \((-1|1)\) beträgt daher:$$f\left(-\frac12\right)=\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6\approx0,34\le\frac\pi2$$

Für alle \(x\in[-1|1]\) gilt also \(f(x)\le\frac\pi2\) wobei Gleichheit nur für \(x=1\) gilt. Daher ist:$$\arcsin(x)-2x\sqrt{1-x^2}\le\frac\pi2\quad;\quad x\in[-1|1]$$Das stellen wir noch zur endgültigen Fassung um:$$\arcsin(x)\le\frac\pi2+2x\sqrt{1-x^2}\quad;\quad x\in[-1|1]\qquad\checkmark$$

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Hallo

die Aufgabe kann man lösen indem man das Max der Differenzfunktionen bestimmt.

Gruß lul

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