Beweis einer Summe mittels vollständiger Induktion

Question

Aufgabe:

Es sei (bn) eine monoton fallende Nullfolge. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle k ≥ 1 gilt:

Summe von n = 0 bis 2k von (-1)ⁿ * b_n ≤ b₀

Problem/Ansatz:

Bitte um Hilfe :)

Answer 1

k=1  Da ist die Summe \( b_0 - b_1 + b_2  \)

Es sind alle b_k ≥0 und wegen der

Monotonie ist b₂ ≤ b₁ also \( - b_1 + b_2 \le 0 \)

und damit \( b_0 - b_1 + b_2 \le b_0 \)

Wenn es nun für k gilt , also \(  \sum \limits_{n=0}^{2k}  (-1)^n \cdot b_n \le b_0  \)

dann musst du es für k+1 zeigen:

\(  \sum \limits_{n=0}^{2(k+1)}  (-1)^n \cdot b_n =    \sum \limits_{n=0}^{2k+2}  (-1)^n \cdot b_n   \)

\(  =    \sum \limits_{n=0}^{2k}  (-1)^n \cdot b_n  +  (-1)^{2k+1} \cdot b_{2k+1}  +  (-1)^{2k+2} \cdot b_{2k+2}  \)

\(  =    \sum \limits_{n=0}^{2k}  (-1)^n \cdot b_n   - b_{2k+1}  +  b_{2k+2}  \)

wieder ist wegen der Monotonie \(   - b_{2k+1}  +  b_{2k+2}   \le 0 \)

und die Summe davor nach Induktionsannahme  ≤bo . Wenn also etwas

nicht positives dazu addiert wird, bleibt es ≤bo

also \(  \sum \limits_{n=0}^{2(k+1)}  (-1)^n \cdot b_n \le b_0 \)   q.e.d.