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Aufgabe:

Die Klein'sche Vierergruppe ist jene 4-elementige Gruppe, deren Elemente \( \{1, a, b, c\} \) den Gleichungen \( a^{2}=b^{2}=1 \) und \( a b=c \) genügen. Gib die Operationstafel dieser Gruppe an.


Problem/Ansatz:

blob.png

Text erkannt:

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline\( ? \) & 1 & \( a \) & \( b \) & \( a b \) \\
\hline 1 & 1 & \( a \) & \( b \) & \( a b \) \\
\hline\( a \) & \( a \) & \( a^{\wedge} 2=1 \) & \( a b \) & \( a^{\wedge} 2^{*} b=b \) \\
\hline\( b \) & \( b \) & \( a b \) & \( b^{\wedge} 2=1 \) & \( a^{*} b^{\wedge} 2=a \) \\
\hline\( a b \) & \( a b \) & \( a^{\wedge} 2^{*} b=b \) & \( a^{*} b^{\wedge} 2=a \) & \( a^{\wedge} 2^{*} b^{\wedge} 2=1 \) \\
\hline
\end{tabular}

Meine Frage dazu wäre, wie finde ich heraus welche Operation man oben einsetzen muss. Kommt das aus der Angabe irgendwo hervor? Ich hätte jetzt mal mit * gerechnet.

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Die Operation ist durch die Angaben a^2 = 1 und b^2=1 und ab=c

festgelegt. Ob du dafür irgendein Zeichen einführst ist egal.

Bei Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Kleinsche_Vierergruppe#Verkn%C3%BCpfungstafel

ist es das Zeichen o

Avatar von 287 k 🚀

Würde die Operationstafel nicht komplett anders aussehen bei + als bei * ?

Bis auf das üblicherweise andere Symbol
für das neutrale Element (0 statt 1)
ist die Tabelle gleich.
Würde man für das neutrale Element das Symbol "e"
verwenden, wären die Tabellen auch äußerlich gleich.

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