Restklassen Aufgabe Hilfe

Question

Aufgabe:

Seien ℤ₁₀ die Menge aller Restklassen zum Modul 10. Betrachten Sie die Menge

E := {ā ∈ ℤ₁₀ | ggT (a,10)=1}

a) Geben Sie E in aufzählender Schreibweise an.

b) Erstellen Sie eine Verknüpfungstafel bezüglich der Restklassenmultiplikation • für E.

c) Weisen Sie nach, dass (E, •) eine abelsche Gruppe ist. Wenn möglich, können Sie mithilfe der Verknüpfungstafel argumentieren.

ICH VERSTEHE DIE KOMPLETTE AUFGABE NICHT

KANN MIR BITTE JEMAND HELFEN?

Answer 1

(a)  Berechne der Reihe nach den ggT(a,10) für a ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Diejenigen a, für die ggT(a,10) = 1 gilt, bilden die Menge E. So erhält man E = {1,3,7,9}.

(b)  Für alle a,b ∈ E berechne a•b vermöge a•b = a·b mod 10.
Die Verknüpfungstafel sieht dann etwa so aus:$$\qquad\Large\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline\color{blue}•&\color{red}1&\color{red}3&\color{red}7&\color{red}9\\\hline\hline\color{red}1&1&3&7&9\\\hline\color{red}3&3&9&1&7\\\hline\color{red}7&7&1&9&3\\\hline\color{red}9&9&7&3&1\\\hline\end{array}$$(c)  Weise die Gruppenaxiome nach. Da die Verknüpfungstafel offenbar symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist, ist die Gruppe abelsch.

Answer 2

Wenn a ∈ ℤ10 gilt, welche Werte kann damit a annehmen

Wenn du jetzt alle möglichen Werte für a in ggT(a,10) = 1 einsetzt. Für welche a ist die Gleichung dann erfüllt.

Meine Kontroll-Lösung: {1, 3, 7, 9}

Answer 3

Bilde mal die Potenzen von 3 modulo 10.
Fällt dir etwas auf?