Beweis zu Sehnenviereck auf einem Kreis

Question

Aufgabe:

Sei ABCD ein Sehnenviereck. Es gilt der Winkel ∠BAD=90°. Und ∠ACB=∠DCA.Der Punkt E ist auf AD so gewählt, dass (Länge)BD=2*(Länge)DE. Und die Parallele zu CD durch E schneide die Diagonale AC im Punkt F.

Und jetzt soll ich zeigen, dass (Länge)AB=(Länge)DA. Und beweisen, dass (Länge)AC*(Länge)BC=2*(Länge)AB*(Länge)FC.

Problem/Ansatz:

Hey Leute, Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?
Kann mir da jemand helfen. Danke schon mal.

Comments

Und beweisen, dass (Länge)AC*(Länge)BC=2*(Länge)AB*(Länge)FC.

Ich denke der Faktor müsste \(\sqrt 2\) heißen. Außerdem fehlt eine Information, die Gleichung ist nur erfüllt, wenn \(|AB|=|BC|\), was aber nach der Beschreibung nicht sein muss!

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nach der Beschreibung nicht sein muss

Folgt aus  ∠ACB=∠DCA und Peripheriewinkelsatz

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Folgt aus ∠ACB=∠DCA und Peripheriewinkelsatz

daraus folgt zunächst mal nur, dass \(|AB| =|DA|\) ist.

Und nach dem Südpolsatz schneidet die Winkelhalbierende eines Dreieckswinkel (hier \(\angle DCB\)) den Umkreis im Südpol \(S\), d.h. im Schnittpunkt des Umkreises mit der Mittelsenkrechten der gegenüberliegenden Seite (hier \(BD\)). Und wenn \(A\) mit dem Südpol \(S\) zusammen fällt, dann ist die Winkelhalbierende von \(\angle DCB\) die Diagonale \(AC\).

Es ist also egal wo \(C\) auf dem Kreis zwischen \(B\) und \(D\) liegt, um die Forderung \(\angle ACB=\angle DCA\) zu erfüllen.

Answer 1

Sei ABCD ein Sehnenviereck. Es gilt der Winkel ∠BAD=90°. Und ∠ACB=∠DCA.Der Punkt E ist auf AD so gewählt, dass (Länge)BD=2*(Länge)DE. Und die Parallele zu CD durch E schneide die Diagonale AC im Punkt F.

ABCD ist ein Quadrat. Wähle |\( \overline{AB} \) |=1, dann ist |\( \overline{AE} \) |=\( \sqrt{2} \) und |\( \overline{AE} \) |=|\( \overline{EF} \) |=\( \sqrt{2} \)-1.