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Differentialgleichung 1.Ordnung

y' +2y = e3x

Ich Brauche Hilfe diese Dfgl. zu lösen!

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Hallo,

Weg nach Variation der Konstanten:

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Danke für die Antwort.

Ich hätte aber dennoch eine Frage


wir haben gegeben y' +2y = e3x

könnte man das auch einfach zu y' = e3x -2y umschreiben ?

dann für y' = \( \frac{dy}{dx} \)

und wir haben dann \( \int\ \) \( \frac{dy}{dx} \) =  \( \int\ \) e3x -2y

dann y auf die linke seite bringen und dx auf die rechte Seite und zum Schluss Integrieren?

nein, das funktioniert so nicht.

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Hier eine alternative Lösung:

Man diferenziere die gegebene DGL:

\(y''+2y'=3e^{3x}=3(y'+2y)\).

Man bekommt so die homogene lineare DGL 2-ter Ordnung

\(y''-y'-6y=0\quad(*) \).

Hier macht man wie üblich den Ansatz \(y=e^{\lambda x}\).

Setzt man dies in die DGL \((*)\) ein, so erhält man für \(\lambda\)

die quadratische Gleichung \(\lambda^2-\lambda -6=0\),

die die beiden Lösungen \(-2\) und \(3\) besitzt.

Die Lösungen von \(*)\) haben also die Gestalt

\(y=C_1e^{-2x}+C_2e^{3x}\). Dies setzt man in die

ursprüngliche DGL ein:

\(-2C_1e^{-2x}+3C_2e^{3x}+2C_1e^{-2x}+2C_2e^{3x}=e^{3x}\).

Hieraus folgt: \(C_2=1/5\).

Die Lösungen der Original-DGL lauten also

\(y=Ce^{-2x}+1/5\cdot e^{3x}\),

wie Grosserloewe bereits gezeigt hatte.

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