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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion

f(x, y) = −x + y

unter der Nebenbedingung

x² − y² = 1


Problem/Ansatz:

Wenn ich dies mit dem Lagrange-Ansatz versuche zu lösen, kommt bei mir immer ein Widerspruch heraus. Kann es sein, dass diese Aufgabe keine Lösung hat? War eine alte Klausuraufgabe.


Vielen Dank vorab und viele Grüße!

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2 Antworten

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Nach Lagrange ist eine notwendige Bedingung für einen Extremwert-Kandidaten, dass der Gradient der zu optimierenden Funktionf(x;y)=x+yf(x;y)=-x+yeine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen ist. Da wir hier nur eine Nebenbedingungg(x;y)=x2y2=1g(x;y)=x^2-y^2=1haben, lautet diese Forderung formal:gradf(x;y)=λgradg(x;y)    (11)=λ(2x2y)\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{-1}{1}=\lambda\binom{2x}{-2y}Wir dividieren die Gleichung der ersten Koordinate durch die der zweiten:11=λ2xλ2y    x=y\frac{-1}{1}=\frac{\lambda\,2x}{-\lambda\,2y}\implies x=yDiese notwendige Bedingung für ein Extremum führt jedoch dazu, dass g(x;y)=0g(x;y)=0 anstatt =1=1 ist. Daher gibt es hier tatsächlich keinen Kandidaten und damit auch keine Lösung.

Avatar von 153 k 🚀
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Ohne Lagrange:

Um die (naheliegende) dritte binomische Formel anwenden zu können, erweitert man den gegebenen Funktionsterm mit (-x-y).

Aus f(x)=(x+y)(xy)xy=(x2y2)xy \frac{(-x+y)(-x-y)}{-x-y}=\frac{(x^2-y^2)}{-x-y} wird durch Anwendung der Nebenbedingung x²-y²=1 das überschaubare 1x+y-\frac{1}{x+y}, welches (erkennbar?) keine Extremstellen besitzt.

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