Extremwerte (eine Nebenbedingung; im R³)

Question

Extremwerte (eine Nebenbedingung; im R³)

Betrachtet wird die Oberfläche der
$$ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 $$

Als Funktionsgleichung habe ich somit $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ bestimmt.
Es soll der max. und min. euklidischen Abstand des Punktes (1,1,1) zur Kugel bestimmt werden.

Als zusätzlichen Hinweis habe ich erhalten, dass der euklidische Abstand zweier Punkte $ \left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) $ und $ \left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) $ im $ \mathbb{R}^{3} $ durch
$$ d\left(x_{1}, y_{1}, z_{1} ; x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}} $$ gegeben ist.

Zunächst wollte ich gern einmal nachfragen, wie denn der minimale und maximale Abstand in der Skizze gekennzeichnet wird? Es ist ja eine Einheitskugel...

1. Geben Sie die Lagrange-Funktion $ L(x, y, z, \lambda) $ und die Normalengleichungen
$$ \vec{\nabla} L(x, y, z, \lambda)=\vec{0} $$an.

Hier habe ich nun $L(x,y,z,\lambda)=x^2+y^2+z^2+\lambda(x^2+y^2+z^2-1)$

$= \sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}+\lambda(x^2+y^2+z^2-1)$

$=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}+\lambda(x^2+y^2+z^2-1)$

$=\sqrt{(1-x)^{2}+(1-y)^{2}+(1-z)^{2}}+\lambda(x^2+y^2+z^2-1)$

2. Nun soll ich zeigen, dass Gleichung $$ \vec{\nabla} L(x, y, z, \lambda)=\vec{0} $$zu $ x=y=z $ führt und die gesuchten Abstände bestimmen:

$\frac{\delta L}{\delta x}=2x\lambda-\frac{x}{\sqrt{(1-x)²}}=0$

$\frac{\delta L}{\delta y}=2y\lambda-\frac{y}{\sqrt{(1-y)²}}=0$

$\frac{\delta L}{\delta z}=2z\lambda-\frac{z}{\sqrt{(1-z)²}}=0$

$\frac{\delta L}{\delta \lambda}= x^2+y^2+z^2-1=0$

somit ist $x=y=z$.

Nun habe ich $y,z$ durch $x$ ersetzt:

$x^2+y^2+z^2-1=0 \rightarrow x^2+x^2+x^2-1=0$

$x_{1,2}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ und somit das selbe Ergebnis auch für $y$ und $z$.

Damit sind die notwendigen Bedingungen erfüllt für:

$(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\pm\frac{1}{\sqrt{3}})$

Wie ich weiter vorgehen muss, weiß ich leider nicht und ist mein Rechenweg überhaupt richtig? Ist das in Ordnung?

Wie ersetze ich die hinreichende Bestimmung am besten durch eine anschauliche Betrachtung?

Ich bedanke mich schon einmal im Voraus! :-D

Gefragt 14 Mai 2020 von Clara_k

Anschauliche Version:

Titel: maximaler und minimaler euklidischer Abstand eines Punktes zu einer Kugel

Stichworte: kugel,euklidischer,abstand,punkt,lagrange

Hoi
Ich habe die Funktion x²+y²+z²=1 und den Punkt P(1|1|1) und habe das schon geplottet mit den meiner meinung nach max. und min. Abständen.
Geogebra AB04.png

Die beiden Punkte müssten ja auf einer Gerade mit meinem Anfangspunkt P liegen, richtig?

Man soll jetzt a) die Lagrange-Funktion L(x,y,z,λ) und die Normalengleichung gradL(x,y,z,λ)=vek0 (*) angeben

und b) zeigen, dass Gleichung (*) zu x=y=z führt und schließlich die gesuchten Abstände bestimmen.

Die Anmerkung d(x1,y1,zy;x2,y2,z2)=sqrt[(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z2-z1)²] für euklidische Abstände ist gegeben. An der Stelle aber die Frage: Wie ist da die Herangehensweise? Ich habe ja die Koordinaten für Min und Max nicht gegeben.

Kommentiert 14 Mai 2020 von Gast

Hallo Clara,

$\sqrt{\bigl( \pm \frac{1}{3}-1\bigr)-\bigl(\pm \frac{1}{3}-1\bigr)-\bigl(\pm \frac{1}{3}-1\bigr)}=\frac{\sqrt6}{3}$ Somit haben beide den selben Abstand zum $P_3$

Nein! $$\begin{aligned} +\sqrt{\frac 13} - 1 &\ne -\sqrt{\frac 13} - 1 \end{aligned}$$

was ja auch logisch ist, da es eine Einheitskugel ist.

das wäre nur logisch, wenn $P_3$ im Mittelpunkt der Kugel liegen würde. Das ist nicht der Fall.

Der Abstand der beiden Punkte ist $$\begin{aligned} |P_1-P_3| &= \sqrt{3 \cdot \left(+ \sqrt{\frac 13} - 1 \right)^2} = \sqrt 3 - 1 \\ |P_2-P_3| &= \sqrt{3 \cdot \left(- \sqrt{\frac 13} - 1 \right)^2} = \sqrt 3 + 1 \end{aligned}$$Und die Differenz der Abstände ist $2$ - der Durchmesser der Kugel - und das ist auch logisch (s. Bild oben)

Kommentiert 18 Mai 2020 von Werner-Salomon

📘 Siehe "Nebenbedingung" im Wiki

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Werner-Salomon · Answer 1 · 2020-05-14T13:29:58+0000

Hallo Jellymoon,

Ich habe ja die Koordinaten für Min und Max nicht gegeben.

Nein - natürlich nicht, weil die sollen ja berechnet werden. Gegeben ist, dass die Min- und Max-Punkte auf der Kugel liegen. Das ist die Nebenbedingung. Die gesuchten Extrempunkte $\vec x$ liegen auf der Kugel mit Radius $r$:$$\text{NB.:} \quad \vec x^2 - r^2 = 0$$

Die Anmerkung d(x1,y1,zy;x2,y2,z2)=sqrt[(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z2-z1)²] für euklidische Abstände ist gegeben.

Ja - und für den Abstand von $\vec p = (1;1;1)$ zur Kugeloberfläche sollst Du das Minimum und das Maximum finden. Das ist die Hauptbedingung. Und wie Mathecoach schon erwähnt hat, reicht es aus, das Quadrat des Abstandes zu optimieren; dann muss man sich nicht mit Wurzelausdrücken herumschlagen. $$d(\vec p, \vec x) = \sqrt{(\vec x - \vec p)^2} \to \min, \space \max \\ \text{HB.:} \quad d^2(\vec p, \vec x) = (\vec x - \vec p)^2 \to \min, \space \max \\$$

Man soll jetzt a) die Lagrange-Funktion L(x,y,z,λ) .. angeben

aus Haupt- und Nebenbedingung kann man die nun zusammen bauen: $$L(\vec x, \lambda) = (\vec x - \vec p)^2 + \lambda(\vec x^2 - r^2) $$

... und die Normalengleichung gradL(x,y,z,λ)=vek0 (*) angeben

Leite nach allen Koordinaten von $\vec x$ ab und setze zu 0 und forme 'geschickt' um:$$\begin{aligned} \text{grad}(L(\vec x, \lambda)) = 2(\vec x - \vec p) + 2\lambda \vec x &= \vec 0 \\ \vec x - \vec p + \lambda \vec x &= \vec 0 \\ \vec x (1 + \lambda)&= \vec p\end{aligned}$$ $\vec x$ ist also ein Vielfaches von $\vec p$. Und wenn in $\vec p = (1;1;1)$ alle Koordinaten identisch sind, so muss dies in $\vec x$ auch so sein.

Ich setze $k = 1/(1 + \lambda)$ und Einsetzen in die Nebenbedingung gibt die Lösung$$\begin{aligned} k^2 \vec p ^2 - r^2 &= 0, \quad \text{da} \space \vec x = k \vec p \\ 3 k^2 &= 1 \\ k &= \pm \sqrt{\frac 13} \\ \implies \vec x_1 &= \sqrt{\frac 13} \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec x_2 &= -\sqrt{\frac 13} \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Der_Mathecoach · Answer 2 · 2020-05-14T13:46:18+0000

Es wäre günstig zu benutzen das wenn ein Abstand mini- oder maximal ist, dass dann auch das Quadrat des Abstandes mini- oder maximal ist. Damit könntest du die Wurzel in der Lagrangefunktion weglassen. Das wäre dann schon hilfreich.

Deine erste Lagrangefunktion ist verkehrt. Du kannst ein einfaches x nicht für 2 paar Schuhe benutzen.

Die Lagrangefunktion hätte ich so aufgestellt

L(x, y, z, k) = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 - k·(x^2 + y^2 + z^2 - 1)

Extremwerte (eine Nebenbedingung; im R³)

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