Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von f', durch Verwendung der H-Methode

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von f', durch Verwendung der H-Methode

Problem/Ansatz:

f(x)= 2(Wurzel(x) + 1)²

Gesucht: f'(x) ?

Comments

Klammer auflösen:

2(x+2√x+1) = 2x+4√x+2

....

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f'(x) = 2 + 2/√x . Kommst du damit weiter ?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Ableitung der Funktion$$f(x)=2\left(\sqrt x+1\right)^2=2\left((\sqrt x)^2+2\sqrt x+1\right)=2x+4\sqrt x+2$$soll mit der $h$-Methode bestimmt werden. Wegen dem $x$ unter der Wurzel, ist die Ableitung nur für $x>0$ definiert. Wir bestimmen zuerst den Differenzenquotienten:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{\left(\,2(x+h)+4\sqrt{x+h}+2\,\right)-\left(\,2x+4\sqrt{x}+2\,\right)}{h}$$$$\phantom{\frac{\Delta f}{\Delta x}}=\frac{2h+4\sqrt{x+h}-4\sqrt{x}}{h}=2+\frac{4\sqrt{x+h}-4\sqrt{x}}{h}$$

Wir hönnen hier den Grenzwert für $h\to0$ noch nicht bilden, weil der Nenner dann zu Null würde. Daher erweitern wir den Bruch geschickt und verwenden anschließend im Zähler die dritte binomische Formel:$$\phantom{\frac{\Delta f}{\Delta x}}=2+4\cdot\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=2+4\cdot\frac{(\overbrace{\sqrt{x+h}}^{=a}-\overbrace{\sqrt{x}}^{=b})\cdot(\overbrace{\sqrt{x+h}}^{=a}+\overbrace{\sqrt{x}}^{=b})}{h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$$$\phantom{\frac{\Delta f}{\Delta x}}=2+4\cdot\frac{\overbrace{(x+h)}^{=a^2}-\overbrace{x}^{=b^2}}{h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=2+4\cdot\frac{\cancel h}{\cancel h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$

Somit konnten wir das lästige $h$ aus dem Nenner rauskürzen und finden nun:$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(2+4\cdot\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\right)=2+4\cdot\frac{1}{2\sqrt x}$$$$f'(x)=2+\frac{2}{\sqrt x}$$

Comments

Vielen Dank :)

Answer 2

Hallo

warum schreibst du nicht wenigstens den Differenzenquotienten (f(x+h)_f(x))/h hin und löst so weit auf wie du kannst, Vielleicht habt ihr das für √x und x auch schon gemacht? dann löse die Klammer auf und benutze das , sonst erweitere (√x+h)-√x)/h mit (√x+h)+√x)  um den GW zu finden

Sag bitte genauer, was du nicht kannst und schreib nicht einfach aufgaben ohne Kommentar.

Gruß lul

Comments

Können Sie bitte den Rechenschritt einzeln schicken?

Wäre sehr nett