Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix A

Question

Wir betrachten die lineare Abbildung
\( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \boldsymbol{v} \mapsto\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}\right) \cdot \boldsymbol{v} \)
Weiter seien nun \( B=\left\{(-1,1,0)^{T},(1,1,1)^{T},(0,1,1)^{T}\right\} \) und \( C=\left\{(1,-1)^{T},(0,1)^{T}\right\} \) Basen des \( \mathbb{R}^{3} \) und des \( \mathbb{R}^{2} . \) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix:

\( \boldsymbol{A}_{\varphi, B, S_{2}} \)

,wobei \( S_{2} \) und \( S_{3} \) die Standardbasen des \( \mathbb{R}^{2} \) und des \( \mathbb{R}^{3} \) bezeichnen.

Hat jemand einen Ansatz? Wie kann man sowas überhaut lernen? Ich weiß nicht mal richtig, was eine Abbildungsmatrix ist.

Answer 1

Aloha :)

Die Abbildungsmatrix \(_{S2}A_{S3}\) ist angegeben:$$_{S2}A_{S3}=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1\\1 & 2 & 5\end{array}\right)$$Sie erwartet Eingangsvektoren, deren Komponenten sich auf die Standardbasis \(S_3\) des \(\mathbb R^3\) beziehen, und liefert Ausgangsvektoren mit Komponenten, die sich auf die Standardbasis \(S_2\) des \(\mathbb R^2\) beziehen.

Diese Abbildungsmatrix soll so umgeschrieben werden, das sie Eingangsvektoren akzeptiert, deren Komponenten sich auf die Basis \(B\) beziehen. Die Koordinaten der Ausgangsvektoren sollen sich weiterhin auf die Standardbasis \(S_2\) beziehen. Um diese Matrix zu bestimmen, rechnen wir die Komponenten der Eingangsvektoren zunächst in die Basis \(S_3\) um und lassen dann die Abbildungsmatrix von oben darauf wirken.$$_{S2}A_{B}=_{S2}A_{S3}\cdot_{S3}\mathbf{id}_{B}$$Die Transformationsmatrix \(_{S3}\mathbf{id}_{B}\) haben wir bereits, weil wir wissen, wie die Basisvektoren in \(B\) bezüglich der Standardbasis \(S_3\) aussehen:$$_{S3}\mathbf{id}_{B}=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)$$

Damit erhalten wir die gesuchte Abbildungsmatrix:$$_{S2}A_{B}=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1\\1 & 2 & 5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}-3 & 2 & 0\\1 & 8 & 7\end{array}\right)$$

Comments

Danke für deine Erklärung Tschakabumba!

Woher weißt du, dass unsere Matrix \( \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 5\end{array}\right) \) gleich \( S 2 A_{S 3} \) ist?

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Bei der Angabe der Funktion ist nichts darüber ausgesagt, welche Eingangsbasis bzw. welche Ausgangsbasis die Vektoren haben müssen. Daher können die angegebenen Komponenten sich nur auf die jeweiligen Standardbasen beziehen.

Wenn eine Basis angegeben wird, wie hier z.B. \(B\) und \(C\), beziehen sich die darin genannten Vektoren bereits auf ein Koordinatensystem. Wenn nicht gesagt wird, welches das ist, muss es das jeweilige Standardbasissystem sein.