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Wir betrachten die lineare Abbildung
φ : R3R2,v(211125)v \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \boldsymbol{v} \mapsto\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}\right) \cdot \boldsymbol{v}
Weiter seien nun B={(1,1,0)T,(1,1,1)T,(0,1,1)T} B=\left\{(-1,1,0)^{T},(1,1,1)^{T},(0,1,1)^{T}\right\} und C={(1,1)T,(0,1)T} C=\left\{(1,-1)^{T},(0,1)^{T}\right\} Basen des R3 \mathbb{R}^{3} und des R2. \mathbb{R}^{2} . Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix:

Aφ,B,S2 \boldsymbol{A}_{\varphi, B, S_{2}}

,wobei S2 S_{2} und S3 S_{3} die Standardbasen des R2 \mathbb{R}^{2} und des R3 \mathbb{R}^{3} bezeichnen.


Hat jemand einen Ansatz? Wie kann man sowas überhaut lernen? Ich weiß nicht mal richtig, was eine Abbildungsmatrix ist.

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Aloha :)

Die Abbildungsmatrix S2AS3_{S2}A_{S3} ist angegeben:S2AS3=(211125)_{S2}A_{S3}=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1\\1 & 2 & 5\end{array}\right)Sie erwartet Eingangsvektoren, deren Komponenten sich auf die Standardbasis S3S_3 des R3\mathbb R^3 beziehen, und liefert Ausgangsvektoren mit Komponenten, die sich auf die Standardbasis S2S_2 des R2\mathbb R^2 beziehen.

Diese Abbildungsmatrix soll so umgeschrieben werden, das sie Eingangsvektoren akzeptiert, deren Komponenten sich auf die Basis BB beziehen. Die Koordinaten der Ausgangsvektoren sollen sich weiterhin auf die Standardbasis S2S_2 beziehen. Um diese Matrix zu bestimmen, rechnen wir die Komponenten der Eingangsvektoren zunächst in die Basis S3S_3 um und lassen dann die Abbildungsmatrix von oben darauf wirken.S2AB=S2AS3S3idB_{S2}A_{B}=_{S2}A_{S3}\cdot_{S3}\mathbf{id}_{B}Die Transformationsmatrix S3idB_{S3}\mathbf{id}_{B} haben wir bereits, weil wir wissen, wie die Basisvektoren in BB bezüglich der Standardbasis S3S_3 aussehen:S3idB=(110111011)_{S3}\mathbf{id}_{B}=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)

Damit erhalten wir die gesuchte Abbildungsmatrix:S2AB=(211125)(110111011)=(320187)_{S2}A_{B}=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1\\1 & 2 & 5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}-3 & 2 & 0\\1 & 8 & 7\end{array}\right)

Avatar von 153 k 🚀

Danke für deine Erklärung Tschakabumba!

Woher weißt du, dass unsere Matrix (211125) \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 5\end{array}\right) gleich S2AS3 S 2 A_{S 3} ist?

Bei der Angabe der Funktion ist nichts darüber ausgesagt, welche Eingangsbasis bzw. welche Ausgangsbasis die Vektoren haben müssen. Daher können die angegebenen Komponenten sich nur auf die jeweiligen Standardbasen beziehen.

Wenn eine Basis angegeben wird, wie hier z.B. BB und CC, beziehen sich die darin genannten Vektoren bereits auf ein Koordinatensystem. Wenn nicht gesagt wird, welches das ist, muss es das jeweilige Standardbasissystem sein.

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