Kovarianz Formel umformen

Question

Hey, kann mir jemand helfen beim umstellen der Formel.

Text erkannt:

Definition 4.5. Die (empirische) Kovarianz der Wertepaare \( \left(x_{1}, y_{1}\right), \ldots,\left(x_{n}, y_{n}\right) \) ist gegeben durch
\( \operatorname{Cov}(X, Y)=s_{x y}=\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=\frac{1}{n-1}\left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-\bar{x} \bar{y}\right) \)

Ich komme nicht von (x_i-X^Strich)*(y_i-Y^Strich) auf x_i*y_i - X^strich *Y^Strich .Die Klammern ausmultiplizieren ist kein Problem.

x_i*y_i    -      x_i*Y^Strich   -     X^Strich * y_{i    +     X}^Strich * Y^Strich

Dann aber wie es weiter geht, verstehe ich nicht. Ich muss ja die Summen noch berücksichtigen, weiß aber nicht wie ich weiter rechnen kann und wollte daher fragen ob mir jemand helfen kann.

Answer 1

Aloha :)

Den Vorfaktor \(\frac{1}{n-1}\) lasse ich im Folgenden weg:

$$\phantom{=}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)\left(y_i-\overline y\right)$$$$=\sum\limits_{i=1}^n\left(x_iy_i-\overline xy_i-x_i\overline y+\overline x\,\overline y\right)$$$$=\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i-\sum\limits_{i=1}^n\overline xy-\sum\limits_{i=1}^nx_i\overline y+\sum\limits_{i=1}^n\overline x\,\overline y$$$$=\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i-\overline x\sum\limits_{i=1}^ny_i-\overline y\sum\limits_{i=1}^nx_i+\sum\limits_{i=1}^n\overline x\,\overline y$$$$=\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i-\overline x\cdot n\cdot\frac1n\sum\limits_{i=1}^ny_i-\overline y\cdot n\cdot\frac1n\sum\limits_{i=1}^nx_i+\sum\limits_{i=1}^n\overline x\,\overline y$$$$=\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i-\overline x\cdot n\cdot\overline y-\overline y\cdot n\cdot\overline x+\sum\limits_{i=1}^n\overline x\,\overline y$$$$=\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i-2\cdot n\cdot\overline x\,\overline y+\sum\limits_{i=1}^n\overline x\,\overline y$$$$=\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i-2\sum\limits_{i=1}^n\overline x\,\overline y+\sum\limits_{i=1}^n\overline x\,\overline y$$$$=\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i-\sum\limits_{i=1}^n\overline x\,\overline y$$$$=\sum\limits_{i=1}^n\left(x_iy_i-\overline x\,\overline y\right)$$