Aufgabe:
Seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen auf einem W-Raum (Ω, ∑, ℙ) mit
ℙ[{X=0}] = \( \frac{3}{8} \)
ℙ[{X=1}] = \( \frac{1}{4} \)
ℙ[{X=2}] = \( \frac{3}{8} \)
ℙ[{Y=-1}] = \( \frac{1}{2} \)
ℙ[{Y=0}] = 0
ℙ[{Y=1}] = \( \frac{1}{2} \)
Weiter sei Z:=XY - 1.
Geben Sie den Bildraum von Z an und überprüfen Sie die Zufallsvariablen Y und Z auf Unabhängigkeit, sowie auf Unkorreliertheit.
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz ist erstmal, dass ich Z als Bildraum Z(Ω) wählen muss. Z kann nur Werte in {-3,-2,-1,0,1} annehmen und auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Z Werte sind einfach zu bestimmen.
Ich weiß jedoch nicht erst, wie ich den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, ∑, ℙ) im Allgemeinen wählen soll.
Des Weiteren ist mir bewusst, dass ℂov(Z,Y) = Ε[ZY] - Ε[Z]*Ε[Y] = 0 für Unkorrelliertheit gelten muss, was nach meiner Intuition hier nicht der Fall sein sollte. Ich weiß leider aber auch nicht, wie ich Ε[ZY] ausrechnen soll.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Gruß
Dwn_Y
