Unabhängigkeit und Unkorreliertheit (Stochastik)

Question

Aufgabe:

Sei X eine auf der Menge {0, . . . , 10} gleichverteilte Zufallsvariable. Dazu
sei die Zufallsvariable Y := 25 − (X − 5)² gegeben. Überprüfe X und Y
auf Unabhängigkeit und Unkorreliertheit

Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Für jede Hilfe wilkommen!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Zufallsvariable $Y$ hängt von der Zufallsvariablen $X$ ab:$$Y\coloneqq25-(X-5)^2=25-(X^2-10X+25)=10X-X^2$$Daher können wir nicht erwarten, dass $X$ und $Y$ unabhängige Zufallsvariablen sind.

Wir prüfen das jedoch rechnerisch nach. Wenn zwei Zufallsvariablen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig sind, gilt für die Erwartungswerte:$$\left<X\cdot Y\right>=\left<X\right>\cdot\left<Y\right>$$Da die Bildung des Erwartungswertes eine lineare Operation ist, können wir die Erwartungswerte wie folgt berechnen:$$\left<Y\right>=\left<10X-X^2\right>=10\left<X\right>-\left<X^2\right>$$$$\left<X\cdot Y\right>=\left<10X^2-X^3\right>=10\left<X^2\right>-\left<X^3\right>$$Damit gilt:$$\underbrace{10\left<X^2\right>-\left<X^3\right>}_{=\left<X\cdot Y\right>}\ne\underbrace{10\left<X\right>^2-\left<X\right>\left<X^2\right>}_{=\left<X\right>\cdot\left<Y\right>}$$$X$ und $Y$ sind also nicht unabhängig voneinander.

Um eine Aussage über die Korreliertheit der beiden Zufallsvariablen $X$ und $Y$ treffen zu können, berechnen wir die Kovarianz:$$\operatorname{Cov(X;Y)}=\left<XY\right>-\left<X\right>\left<Y\right>=10\left<X^2\right>-\left<X^3\right>-\left(10\left<X\right>^2-\left<X\right>\left<X^2\right>\right)$$$$\phantom{\operatorname{Cov(X;Y)}}=10\left(\left<X^2\right>-\left<X\right>^2\right)+\left<X\right>\left<X^2\right>-\left<X^3\right>$$$$\phantom{\operatorname{Cov(X;Y)}}=10\operatorname{Var}(X)+\left<X\right>\left<X^2\right>-\left<X^3\right>\ne0$$Die beiden Zufallsvariablen $X$ und $Y$ sind auch nicht unkorreliert.