Bestimmtes Integral berechnen

Question

Aufgabe:

Ich sollte folgendes Integral berechnen.

\(\LARGE \int \limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \large d x \)

Problem/Ansatz:

Natürlich habe ich es auch in den Integralrechner eingegebenen, jedoch kommt ein sehr verwirrender Rechenweg raus. Ich habe versucht es mit x=pi/2-u zu substituieren. Jedoch komme ich nicht weiter und weiss nicht genau was ich mit den cos^2(x) anstellen soll. Eventuell kann jemand mir einen Tipp gehen wie ich da am besten vorgehen soll. Ich bedanke mich schonmal im Voraus :)

Answer 1

Betrachte die Funktion \(h\colon(0,\frac\pi2)\to\mathbb R\) mit$$h(x)=\frac{\cos^2x}{x(\pi-2x)}-\frac1{2\pi x}-\frac1{\pi(\pi-2x)}$$und stelle fest, dass \(h\) punktsymmetrisch zum Punkt \(P(\frac\pi4\mid0)\) ist. Das heißt, es ist$$\int_{\frac\pi4-\frac\pi{12}}^{\frac\pi4+\frac\pi{12}}h(x)\,\mathrm dx=0.$$Es folgt$$\int_\frac\pi6^\frac\pi3\frac{\cos^2x}{x(\pi-2x)}\,\mathrm dx=\int_\frac\pi6^\frac\pi3h(x)\,\mathrm dx+\int_\frac\pi6^\frac\pi3\frac1{2\pi x}\,\mathrm dx+\int_\frac\pi6^\frac\pi3\frac1{\pi(\pi-2x)}\,\mathrm dx=\frac{\log2}\pi.$$