Bestimme das unbestimmte Integral: \int\limits_{}^{} \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} dx

Question

Aufgabe:

Bestimme das unbestimmte Integral: \( \int\limits_{}^{} \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} dx\)

Problem/Ansatz:

Ich habe es schon mit Patritalbruchzerlegung und Substitution versucht, jedoch noch kein richtiges Ergebnis bekommen

Comments

\(\dfrac{\mathrm e^x-1}{\mathrm e^x+1}=2\cdot\dfrac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x+1}-1\). Substituiere nun \(z=\mathrm e^x+1\).

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Falls du den tanh kennst, geht es vmtl. leichter als mit PBZ / Subst.

Answer 1

Aloha :)$$I=\int\frac{e^x-1}{e^x+1}dx=\int\frac{e^x+1-2}{e^x+1}dx=\int\left(1-\frac{2}{e^x+1}\right)dx=x-\int\frac{2}{e^x+1}dx$$Wir substituieren wie folgt:$$u:=e^x+1\quad;\quad\frac{du}{dx}=e^x\;\;\Rightarrow\;\;dx=\frac{du}{e^x}=\frac{du}{u-1}$$Beim nun folgenden Integrieren spare ich mir die Integrationskonstante, die geben wir erst am Ende wieder an:$$I=x-\int\frac{2}{u}\,\frac{du}{u-1}=x-2\int\frac{1}{u(u-1)}du=x-2\int\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}\right)du$$$$\phantom{I}=x-2\int\frac{1}{u-1}du+2\int\frac{1}{u}du=x-2\ln|u-1|+2\ln|u|$$$$\phantom{I}=x-2\ln\left|e^x\right|+2\ln|e^x+1|=x-2x+2\ln(e^x+1)$$$$\phantom{I}=2\ln(e^x+1)-x+\text{const}$$