Du betrachtest hier vermutlich das upper halfplane model der hyperbolischen Geometrie.
In solchen Modellen verhält sich die Abstandsmessung grundlegend anders als in der euklidischen Geometrie. Du kannst da nicht einfach hingehen und den Abstand zB mit einem euklidischen Lineal messen, da der Raum salopp gesagt an verschiedenen Punkten unterschiedlich gestreckt/gestaucht ist. Man kann den Abstand zweier Punkte aber mit entsprechenden Formeln berechnen:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_half-plane_model
Wenn du jetzt in einem solchen Modell einen Kreis beschreiben willst, ist die Definition identisch zu der Definition in der euklidischen Ebene. Ein Kreis ist die Menge aller Punkte die von einem Mittelpunkt denselben Abstand haben. Aber es ist diesmal eben der nicht-euklidische Abstand.
Es stellt sich allerdings heraus, dass wenn du diese Menge in das Modell einzeichnest, eine Figur entsteht die man auch als euklidischen Kreis auffassen könnte. Aber Achtung: der Mittelpunkt der Menge aufgefasst als nicht-euklidischer Kreis unterscheidet sich von dem Mittelpunkt der als euklidischer Kreis aufgefasst Menge. Das siehst du ja in der Abbildung. Aufgefasst als nicht euklidischer Kreis liegt der nicht-euklidische Mittelpunkt für unser euklidisches Auge ja ziemlich nah am Rand. Aber das täuscht eben. In diesem Modell ist dieser Punkt der Mittelpunkt. Alle Punkte auf der Kreislinie haben denselben nicht-euklidischen Abstand zu diesem Punkt. Auch sind nicht-euklidischer Radius und euklidischer Radius im Allgemeinen unterschiedlich.
Wenn du in das Modell jetzt bspw zwei nicht-euklidische Kreise mit identischen nicht-euklidischen Radii einzeichnest, dann siehst du zwar nachher auf dem Papier auch zwei euklidische Kreise, aber die müssen eben keineswegs denselben euklidischen Radius aufweisen. D.h. sie können auf dem Papier unterschiedlich groß sein. Aus Sicht der nicht-euklidischen Geometrie haben sie aber dieselbe Größe.
