Grenzwert der Reihe: ∑ 7/(3^k). Wie berechne ich den Quotienten q?

Question

Ich soll einen Grenzwert berechnen: (k= null bis unendlich)∑ 7/(3^k)
Wenns ein (7/3)^k wäre, würde ich ja leicht auf q kommen, dann wärs (7/3)

Aber ich weiss im Allgemeinen nicht, wie man auf das q kommt, wenns nicht in dieser bequemen Formen ist. Vielleicht in diese Form umformen, aber wie?

MIt dem q mein ich das Q in der Formel a1 *  1/ (1-q)

Wisst ihr weiter?

Gruß,

Answer 1

Hallo Sophie,

kleine Umformung deiner Summe sollte dein Problem lösen:

$$  \sum_{k=0}^\infty \frac{7}{3^k}=7 \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{3^k}=7 \cdot \sum_{k=0}^\infty( \frac{1}{3})^k$$

Comments

Super, danke euch beiden.

Das hatte ich auch im Kopf, aber ich war mir sicher dass (1/k^x) nicht (1/k)^x sein kann. Dachte die beiden seien was anderes.

Noch eine Frage: Kann ich jeden Grenzwert so ausrechnen, wenn ich die Reihe in die Form (1/k)^x kriege? Gruß

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$$\frac{1}{x^k}=\frac{1^k}{x^k}=\left(\frac{1}{x} \right)^k $$
1^k hoch irgend eine reelle Zahl k ergibt 1

Jeden Grenzwert kannst du so nicht ausrechnen.Bei diesem funktioniert das nicht:

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{7k}{3^k} $$

Answer 2

Problemlösung:

$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 7 }{ 3^{ k } }  }$$$$=\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ 7\frac { 1 }{ 3^{ k } }  }$$Konstante vor die Summe ziehen:$$=7\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ 3^{ k } }  }$$$$=7\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ k } }$$

Answer 3

Wenn du weisst, dass eine geometrische Reihe da stehen sollte, kannst du q berechnen als

q = a_k+1 / a_k

Hier 

q = 7/(3^{k+1}) / (7/(3^k))

= (7*3^k) / (3^{k+1} * 7)      |kürzen

= 1/3

Es muss übrigens |q|<1 gelten, damit a1*1/(1-q) der Grenzwert ist.