Was kann man aber genau mit a*b*sin@ ausrechnen?

Question

Aufgabe:

kreuzprodukt

Problem/Ansatz:

Man kann ja durch a×b den senkrechten vektor c herausfinden.

Was kann man aber genau mit a*b*sin@ ausrechnen?

Answer 1

Aloha :)

Betrachte folgenden Ausdruck:$$\phantom{=}\|\vec a\times\vec b\|^2+(\vec a\cdot\vec b)^2$$$$=\left\|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\right\|^2+(\vec a\cdot\vec b)^2=\left\|\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}\right\|^2+(\vec a\cdot\vec b)^2$$$$=(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2+(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$$Jetzt rechnen wir die Klammern aus und spendieren jeder Klammer eine eigene Zeile:$$=a_2^2b_3^2+a_3^2b_2^2-2a_2a_3b_2b_3$$$$+a_3^2b_1^2+a_1^2b_3^2-2a_1a_3b_1b_3$$$$+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2-2a_1a_2b_1b_2$$$$+a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_3^2b_3^2+2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+2a_2b_2a_3b_3$$Alle Terme mit einer $2$ am Anfang heben sich gegenseitig weg, übrig bleibt:$$=a_2^2b_3^2+a_3^2b_2^2+a_3^2b_1^2+a_1^2b_3^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_3^2b_3^2$$$$=(a_1^2b_3^2+a_1^2b_2^2+a_1^2b_1^2)+(a_2^2b_3^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2)+(a_3^2b_2^2+a_3^2b_1^2+a_3^2b_3^2)$$$$=a_1^2(b_3^2+b_2^2+b_1^2)+a_2^2(b_3^2+b_1^2+b_2^2)+a_3^2(b_2^2+b_1^2+b_3^2)$$$$=a_1^2\cdot\vec b^2+a_2^2\cdot\vec b^2+a_3^2\cdot\vec b^2$$$$=(a_1^2+a_2^2+a_3^2)\cdot\vec b^2=\vec a^2\cdot\vec b^2$$

Mit $\vec a^2=a^2$ und $\vec b^2=b^2$ und der Definition des Skalarproduktes $\vec a\cdot\vec b=a\cdot b\cdot\cos\varphi$ gilt:$$\|\vec a\times\vec b\|^2+\underbrace{(\vec a\cdot\vec b)^2}_{(ab\cos\varphi)^2}=\underbrace{\vec a^2\cdot\vec b^2}_{a^2\cdot b^2}\quad\implies$$$$\|\vec a\times\vec b\|^2=a^2b^2-a^2b^2\cos^2\varphi=a^2b^2(1-\cos^2\varphi)=a^2b^2\sin^2\varphi\quad\implies$$$$\|\vec a\times\vec b\|=ab\sin\varphi$$

Comments

Vielen Dank, aber wie komme ich auf(a•b)² (gleich in der ersten Zeile)?

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Kann ich dann mit der sinus formel, die Länge eines vektors berechnen ?

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Das $(\vec a\cdot\vec b)^2$ in der ersten Zeile folgt aus keiner Rechnung. Ich habe einfach nur den Ausdruck $$\|\vec a\times\vec b\|^2+(\vec a\cdot\vec b)^2=\cdots=a^2b^2$$hingeschrieben und dann durch die Rechnung gezeigt, dass dieser Ausdruck gleich $a^2b^2$. Das haben wir dann nach $\|\vec a\times\vec b\|$ umgestellt und so schließlich rausgefunden, dass gilt:$$\|\vec a\times\vec b\|=ab\sin\varphi$$Und ja, mit diesem Ausdruck kannst du die Länge des Vektorproduktes bestimmen.

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Ok. Vielen Dank. Sie können eehr gut erklären.:))

Answer 2

Hallo

das ist der Betrag des Kreuzproduktes und damit die Fläche des von a,b aufgespannten Parallelogramms.

Gruß lul

Comments

Achso okay Dankeschön.

Also hat das nix mit einer Länge, vektor oder Winkel zu tun. Nur mit der Fläche?

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Hallo

die Formel ist ja auch die Länge des auf a,b senkrechten Vektors, also in dem sinne schon eine Länge eines Vektors.

Tschkas Herleitung ist eine komplizierte Form, zu zeigen dass es der Betrag des Kreuzproduktes ist. Dass es der Flächeninhalt ist kann man auch direkt geometrisch sehen.

lul