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Aufgabe:

Untersuchen Sie die Folge der Funktionen fn : [1,2]R f_{n}:[1,2] \rightarrow \mathbb{R} , definiert durch
fn(x)=xn f_{n}(x)=\sqrt[n]{x}
auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz auf [1,2] [1,2] .

Hallo Leute, ich sitze mit meinem Übungspartner an dieser Aufgabe und wir kommen nicht auf ein einheitliches Ergebnis. Oder besser gesagt: wir kommen auf ,,kein" Ergebnis. Es wäre mega hilfreich, wenn jemand hierzu eine musterlösung schreiben könnte, da so eine Aufgabe vermutlich in der Klausur vorkommen könnte. Wir wären sehr dankbar^^

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Wie sieht denn euer "kein Ergebnis" aus?

Gibt es vielleicht gegensätzliche Ansichten?

Ja, also wir sind zunächst davon ausgegangen, dass wir die folgefunktion auf R laufen lassen und haben dann 1 rausbekommen. Und weil 1 als grenzwert existiert, ist die folgefunktion punktweise konvergent. Danach dachten wir, dass wir x gegen 1 laufen lassen und gegen 2 und haben bei beiden auch als grenzwert 1 rausbekommen und da die Grenzwerte die gleichen sind, haben wir gesagt, dass es auch gleichmäßig konvergiert.

Wir haben aber das Gefühl, dass unsere Gedanken falsch sind.

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Für punktweise Konvergenz ergibt sich
limnx1n=limnexp(1nln(x))=exp(limn1nln(x))=exp(0)=1\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{\frac{1}{n}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \exp \left(\frac{1}{n} \ln (x)\right)=\exp \left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln (x)\right)=\exp (0)=1\end{aligned}
Um die Funktionenfolge auf gleichmässige Konvergenz zu untersuchen, bestimmen wir
limnsupx[1,2]fn(x)1=limn(21n1)=0.\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[1,2]}\left|f_{n}(x)-1\right|=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(2^{\frac{1}{n}}-1\right)=0 .\end{aligned}
Das zeigt also die gleichmässige Konvergenz.

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Alles klar, danke dir :)

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