Beweisen Sie, das x0 ein Eigenvektor von Fx0 ist, was ist der zu x0 gehörende Eigenwert

Question

Aufgabe: Beweisen Sie, das x0 ein Eigenvektor von Fx0 ist, was ist der zu x0 gehörende Eigenwert

Problem/Ansatz: Sei V ein euklidischer Vektorraum und x0  Element V ein fest gewählter Vektor mit x0 <> 0. Sei Fx0 : V -> V definiert durch Fx0(v) = -v + <x0,v>x0 für alle v Element V

Ich habe leider keinen Plan wie ich da vorgehen soll, für eine  detaillierte Erklärung der Vorgehensweise wäre ich dankbar ?

Comments

Tipp: Das Skalarprodukt besser mit ⟨ , ⟩ als < . > bezeichnen.

Answer 1

Ich verstehe die Aufgabe so:$$F_{x_0}(x_0)=-x_0+\langle x_0,x_0\rangle\cdot x_0=(-1+\langle x_0,x_0\rangle)\cdot x_0.$$Damit ist \(x_0\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \((-1+\langle x_0,x_0\rangle)\) von \(F_{x_0}\).

Comments

Danke mal, aber wie kommst Du auf die -1  und kannst Du mir einen Ansatz geben, wieso ist x0 ein Eigenvektor ist ?

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Die \(-1\) kommt daher, dass \(x_0\) ausgeklammert wurde.
Außerdem ist \(-1+\langle x_0,x_0\rangle\) ein Skalar. Was dort steht, hat die vermutlich besser bekannte Form \(F(v)=\lambda v\). Daran kann man Eigenvektor und Eigenwert direkt ablesen, da \(v\ne0\) ist.

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ah stimmt, dank dafür