Beweisen Sie, das x0 ein Eigenvektor von Fx0 ist, was ist der zu x0 gehörende Eigenwert

Question

Aufgabe: Beweisen Sie, das x0 ein Eigenvektor von Fx0 ist, was ist der zu x0 gehörende Eigenwert

Problem/Ansatz: Sei V ein euklidischer Vektorraum und x0  Element V ein fest gewählter Vektor mit x0 <> 0. Sei Fx0 : V -> V definiert durch Fx0(v) = -v + <x0,v>x0 für alle v Element V

Ich habe leider keinen Plan wie ich da vorgehen soll, für eine  detaillierte Erklärung der Vorgehensweise wäre ich dankbar ?

Comments

Tipp: Das Skalarprodukt besser mit ⟨ , ⟩ als < . > bezeichnen.

Answer 1

Ich verstehe die Aufgabe so:$$F_{x_0}(x_0)=-x_0+\langle x_0,x_0\rangle\cdot x_0=(-1+\langle x_0,x_0\rangle)\cdot x_0.$$Damit ist $x_0$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $(-1+\langle x_0,x_0\rangle)$ von $F_{x_0}$.

Comments

Danke mal, aber wie kommst Du auf die -1  und kannst Du mir einen Ansatz geben, wieso ist x0 ein Eigenvektor ist ?

---

Die $-1$ kommt daher, dass $x_0$ ausgeklammert wurde.
Außerdem ist $-1+\langle x_0,x_0\rangle$ ein Skalar. Was dort steht, hat die vermutlich besser bekannte Form $F(v)=\lambda v$. Daran kann man Eigenvektor und Eigenwert direkt ablesen, da $v\ne0$ ist.

---

ah stimmt, dank dafür