$$\left| z-1 \right| =\frac { 1 }{ 2 } \left| z+1 \right|$$$$\Leftrightarrow \left| a+bi-1 \right| =\frac { 1 }{ 2 } \left| a+bi+1 \right|$$$$\Leftrightarrow \sqrt { { \left( a-1 \right) }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { { \left( a-1 \right) }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }-2a+1+{ b }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 4 } ({ a }^{ 2 }+2a+1+{ b }^{ 2 })$$$$\Leftrightarrow { 4a }^{ 2 }-8a+4+4{ b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+2a+1+{ b }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow { 3a }^{ 2 }-10a+3=-3{ b }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow { b }^{ 2 }={ -a }^{ 2 }+\frac { 10 }{ 3 } a-1$$$$\Leftrightarrow { b }=\pm \sqrt { { -a }^{ 2 }+\frac { 10 }{ 3 } a-1 }$$Da b reell sein muss, muss gelten:$${ -a }^{ 2 }+\frac { 10 }{ 3 } a-1\ge 0$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }-\frac { 10 }{ 3 } a+1\le 0$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }-\frac { 10 }{ 3 } a\le -1$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }-\frac { 10 }{ 3 } a+{ \left( \frac { 5 }{ 3 } \right) }^{ 2 }\le \frac { 16 }{ 9 }$$$$\Leftrightarrow { { \left( a-\frac { 5 }{ 3 } \right) }^{ 2 } }\le \frac { 16 }{ 9 }$$$$\Leftrightarrow { { \left| a-\frac { 5 }{ 3 } \right| } }\le \frac { 4 }{ 3 }$$$$\Leftrightarrow a-\frac { 5 }{ 3 } \le \frac { 4 }{ 3 } \vee -a+\frac { 5 }{ 3 } \le \frac { 4 }{ 3 }$$$$\Leftrightarrow a\le 3\vee a\ge \frac { 1 }{ 3 }$$$$\Leftrightarrow \frac { 1 }{ 3 } \le a\le 3$$Somit erhält man als Lösungsmenge:$$L=\left\{ z=a+bi;a,b\in R|\frac { 1 }{ 3 } \le a\le 3\wedge { b }=\pm \sqrt { { -a }^{ 2 }+\frac { 10 }{ 3 } a-1 } \right\}$$bzw.$$L=\left\{ z\in C|\frac { 1 }{ 3 } \le Re(z)\le 3\wedge { Im(z) }=\pm \sqrt { { -a }^{ 2 }+\frac { 10 }{ 3 } a-1 } \right\}$$
Schaut man sich die Bestimmungsgleichung für b 2 genauer an, stellt man fest:
$${ b }^{ 2 }={ -a }^{ 2 }+\frac { 10 }{ 3 } a-1$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }-\frac { 10 }{ 3 } a+1+{ b }^{ 2 }=0$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }-\frac { 10 }{ 3 } a+{ \left( \frac { 5 }{ 3 } \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 5 }{ 3 } \right) }^{ 2 }+1+{ b }^{ 2 }=0$$$$\Leftrightarrow { \left( a-\frac { 5 }{ 3 } \right) }^{ 2 }-\frac { 16 }{ 9 } +{ b }^{ 2 }=0$$$$\Leftrightarrow { \left( a-\frac { 5 }{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }={ \left( \frac { 4 }{ 3 } \right) }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow { \left( a-\frac { 5 }{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ (b-0) }^{ 2 }={ \left( \frac { 4 }{ 3 } \right) }^{ 2 }$$
Das aber ist gerade eine Kreisgleichung, nämlich die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt ( 5 / 3 | 0 ) und dem Radius 4 / 3. Die Lösungen der Gleichung sind also alle diejenigen Punkte, die auf dem Rand dieses Kreises liegen.
