Aufgabe:
$$ \text{ Betrachten Sie den Polynomring } \mathbb{Z}_{2}[x] \text{ und das Polynom } f(x)=1+x+x^2. \text{ Ist das Polynom irreduzibel? } $$
Problem/Ansatz:
Wie überprüfe ich das? Bitte ruhig "einfach" verständlich, falls geht, Danke :-)
Wenn das Polynom reduzibel wäre, würde es das Produkt zweier
linearer Polynome sein: \(f(x)=(x-a)(x-b)\), das hätte aber zur Folge, dass
\(f\) eine Nullstelle im Koeffizientenkörper hätte.
Es ist aber \(f(0)=1\neq 0\), sowie \(f(1)=1\neq 0\).
Also ist \(f\) irreduzibel.
Ok, super hab es verstanden. Es wird noch weiter gefragt: Betrachten Sie die Menge Z2[x] .Wie viele Elemente besitzt die Menge? Schreiben Sie die Elemente der Menge als Polynome auf. Verstehe nicht was die mit Menge meinen, doch nicht {0,1} oder? Wie soll man das als Polynome aufschreiben?
Betrachten Sie die Menge Z2[x]
Sicher?
Der Polynomring hat unendlich viele Elemente..
Oder sollst du evtl Z_2[x]/(f) betrachten?
Ja sorry, du hast recht. Ja genau das soll ich: Z2[x]f
Ok, habe schon. Werde es nachher hier reinschreiben.
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos