Ableitung mit Hilfe der Potenzregel

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

1 Bestimmen Sie die erste Ableitung. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit dem GTR.
a) $2 x \cdot(4 x-1)$
b) $(5 x+3) \cdot(x+2)$
c) $(2-5 x) \cdot(x+2)$
d) $2 x \cdot e^{x}$
e) $(4 x+2) \cdot e^{x}$
f) $(6 x+1) \cdot e^{x}$
g) $(3 x-2 x) \cdot e^{x}$
h) $\left(-x^{2}+9\right) \cdot e^{x}$
i) $\left(x^{2}+x-1\right) \cdot e^{x}$
j) $(1-2 x) \cdot e^{2 x}$
k) $\left(x^{2}-x\right) \cdot e^{-x}$
1) $(2 x+1) \cdot e^{3 x}$

Problem/Ansatz:

Ich brauch Hilfe bei b, c, d, e, f die anderen habe ich schon. Aber diese fünf gehen über mein Niveau…

Answer 1

Hallo,

b) und c) multipliziere erst die Klammern aus oder wende die Produktregel an.

d) - f) auch hier würde ich die Produktregel anwenden.

$f(x)=g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) \cdot h(x)+g(x) \cdot h^{\prime}(x)$

Beispielrechnung für d)

$f(x)=2x\cdot e^x\\ g=2x\quad h=e^x\\ g'=2\quad h'=e^x\\f(x)=2\cdot e^x+2x\cdot e^x=e^x\cdot (2+2x)$

Gruß, Silvia

Answer 2

k) Weg über die Quotientenregel:

$f(x)=(x^2-x)*e^{-x}$

$f(x)= \frac{x^2-x}{e^x}$

$f´(x)=\frac{(2x-1)*e^{x}-(x^2-x)*e^{x}}{e^(2x)}$

Da nun $e^{x}$ im Minuenden und Subtrahenden vorkommen, darfst du mit $e^{x}$ kürzen.

$f´(x)=\frac{(2x-1)-(x^2-x)}{e^x}$=$\frac{3x-1-x^2}{e^x}$