Laplace-Operator angewendet auf einen Vektor

Question

Ich habe eine Frage zur Anwendung des Laplace Operators.

Konkret geht es um folgenden Term:

\( \boldsymbol{\nabla}^{2}\left(0, y \mathrm{e}^{z}, x\right)^{T} \)

Wie berechnet man diesen?

Lapalce Operator ist, wenn ich das richtig verstehe, immer die 2. Ableitung von jeder Komponente des Vektor zu nehmen. Wenn ich das mache, kommt ja dann raus (0, e^z, 0). Aber in den Lösungen steht stattdessen (0, y*e^z, 0). Wie kann das sein? Habe ich den La-Palce Operator doch falsch verstanden?

LG,

Hybridorbital

Answer 1

Aloha :)

Allgemein gilt:$$\nabla^2=(\vec\nabla)^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}=\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2$$

Angewendet auf das gegebene Vektorfeld:$$\nabla^2\begin{pmatrix}0\\ye^z\\x\end{pmatrix}=\left(\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2\right)\begin{pmatrix}0\\ye^z\\x\end{pmatrix}=\partial_x^2\begin{pmatrix}0\\ye^z\\x\end{pmatrix}+\partial_y^2\begin{pmatrix}0\\ye^z\\x\end{pmatrix}+\partial_z^2\begin{pmatrix}0\\ye^z\\x\end{pmatrix}$$$$\phantom{\nabla^2\begin{pmatrix}0\\ye^z\\x\end{pmatrix}}=\partial_x\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+\partial_y\begin{pmatrix}0\\e^z\\0\end{pmatrix}+\partial_z\begin{pmatrix}0\\ye^z\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ye^z\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ye^z\\0\end{pmatrix}$$