Konvergenz, Divergenz Prädikatenlogische Formel Aussprache

Question

Brauche Hilfe bei der "Aussprache" zu der Prädikatenlogik, was sich auf die Konvergenz und Divergenz bezieht.

Konvergenz:

∃a ∈ R ∀ε > 0 ∃n₀ ∈ N ∀n > n₀: |a_n − a| < ε

Divergenz:

∀a ∈ R ∃ε > 0 ∀n₀ ∈ N ∃n > n₀: |an − a| ≥ ε

Kann mir bitte jemand für beide Formeln die Aussprache (also "Für alle x gilt: ...") nennen und mir erklären, warum die Divergenz ≥ ε am Ende ist (ich weiß, dass mein Negieren die beiden Zeichen ∃ und ∀ vertauscht werden, aber wieso wurde aus < ε das hier: ≥ ε)?

Comments

Lese dir die Aussage in Ruhe durch und ersetze den All-Quantor ∀ mit "Für alle" und den Existenz-Quantor" ∃ mit "Existiert ein". Wenn du eine Aussage negierst, musst du wie du schon richtig erkannt hast die Quantoren vertauschen, wichtig ist aber auch, dass die Aussage am Ende negiert wird, deswegen wird aus <ε ein ≥ε.

Versuch dir diese Definition von Konvergenz mal geometrisch in bspw. ℂ vorzustellen, ich fand es am Anfang so deutlich leichter. :)

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Keinen, der das richtig als verbalen Satz hat? Ich bin bei meinem nicht ganz sicher.

Answer 1

\(\lnot(A\leftrightarrow B)\equiv \lnot((A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A))\stackrel{\text{DeMorgan}}{\equiv}\)

\(\lnot(A\rightarrow B)\vee \lnot(B\rightarrow A)\equiv\)

\( \lnot(\lnot A\vee B)\vee \lnot(\lnot B \vee A)\stackrel{\text{DeMorgan}}{\equiv}\)

\((\lnot \lnot A\wedge \lnot B)\vee(\lnot A\wedge \lnot \lnot B)\equiv\)

\((A\wedge \lnot B)\vee (\lnot A\wedge B)\), q.e.d.