Konvergenz, Divergenz Prädikatenlogische Formel in verbaler Aussprache

Question

Brauche Hilfe bei der "Aussprache" zu der Prädikatenlogik, was sich auf die Konvergenz und Divergenz bezieht.

Konvergenz:

∃a ∈ R ∀ε > 0 ∃n₀ ∈ N ∀n > n₀: |a_n − a| < ε

Divergenz:

∀a ∈ R ∃ε > 0 ∀n₀ ∈ N ∃n > n₀: |an − a| ≥ ε

Kann mir bitte jemand für beide Formeln die Aussprache (also "Für alle x gilt: ...") nennen und mir erklären, warum die Divergenz ≥ ε am Ende ist (ich weiß, dass mein Negieren die beiden Zeichen ∃ und ∀ vertauscht werden, aber wieso wurde aus < ε das hier: ≥ ε)?

Comments

ich weiß, dass mein Negieren die beiden Zeichen ∃ und ∀ vertauscht werden, aber wieso wurde aus < ε das hier: ≥ ε)

Du tauschst nicht nur die Quantoren sondern musst auch die Aussage hinter diesen verneinen:

¬(∀x: A(x)) ⇔ ∃x: ¬A(x)

Es gilt nicht für alle x genau dann wenn ein x existiert für welches es nicht gilt.

Die Verneinung von |a_n - a| < eps

Ist eben |a_n - a| ≥ eps

Answer 1

∃a ∈ R ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n > n0: |an − a| < ε

Kannst du z.B. so aussprechen:

"Es gibt eine reelle Zahl \(a\), für die gilt: Zu jedem \(\epsilon>0\) existiert

ein natürliches \(n_0\), so dass für alle \(n\gt n_0\) gilt \(|a_n-a|\lt \epsilon\)."

Entsprechend für die Divergenz

∀a ∈ R ∃ε > 0 ∀n0 ∈ N ∃n > n0: |an − a| ≥ ε

"Zu jedem rellen \(a\) gibt es ein \(\epsilon>0\), so dass

zu jedem natürlichen \(n_0\) ein \(n\gt n_0\) existiert mit

\(|a_n-a|\gt \epsilon\) ."