Skalarprodukt mit einem Integral

Question

Aufgabe:

Für zwei auf dem Intervall [0,1] definierte Funktionen u und v gelten bezüglich Skalarprodukts

<f,g> = \( \int\limits_{0}^{1} \) f(x)*g(x)dx

die Beziehungen ||u|| = 2, ||v|| = 5 und <u,v> = 3. Bestimmen Sie ||u-v||.

Problem/Ansatz:

Hallo, Ich verstehe den Zusammenhang nicht wirklich. Das Integral kommt im Skriptum gar nicht vor und u und v als Funktionen sind auch nicht gegeben, oder? Bisher bin ich auf die Dreiecksungleichung gestoßen, weiß aber nicht wie diese mir helfen soll. Diese lautet: || u + v || <= || u || + || v || finde aber keine Definition für || u - v ||. Dass || u || ^2 = <u, u> ist mir auch klar, aber irgendwie fehlt mir das Verständnis für das große Ganze. Danke im Voraus und liebe Grüße :)

Answer 1

Hallo :-)

Das Integral kommt im Skriptum gar nicht vor

Dann solltest du erstmal für dich klarmachen, dass das dortige Intergal tatsächlich die Eigenschaften für ein Skalarprodukt erfüllen. Hast du nämlich ein Skalarprodukt \(\langle.,.\rangle\) mit einem Vektorraum \(W\) gegeben, dann kannst du nämlich damit eine Norm \(\|.\|\)durch \(\|w\|:=\sqrt{\langle w, w\rangle}\) erzeugen, \(w\in W\).

u und v als Funktionen sind auch nicht gegeben, oder?

Doch! Schau dir die Abbildung aus der Aufgabe an. Du hast Abbildungen der Form \(u,v:\ [0,1]\to \R\) gegeben. Die Menge der Abbildungen von \([0,1]\) nach \(\R\) (kurz \(\text{Abb}([0,1],\R)\)) bildet einen Vektorraum.

Bisher bin ich auf die Dreiecksungleichung gestoßen, weiß aber nicht wie diese mir helfen soll.

Die wird dir hier wenig nutzen.

Nutze die Eigenschaften des Skalarproduktes:

$$ \|u-v\|^2=\langle u-v,u-v\rangle=... $$

Answer 2

Hi,

$$ \| u-v \|^2 = <u-v,u-v| = \| u\|^2 -2<u,v> + \|v\|^2 $$ Alles einsetzen und fertig. Mit dem Integral hat das direkt nichts zu tun. Es sind ja die einzelnen Werte vorgegeben.